高中我們是有介紹過(guò)概率的。但是當(dāng)時(shí)并沒(méi)有對(duì)概率這個(gè)概念進(jìn)行公理化。這一期專欄我們就來(lái)用公理化方法討論概率這一概念。

1.概率的研究對(duì)象

在談概率前要先說(shuō)明概率是研究哪樣?xùn)|西的。

1.隨機(jī)試驗(yàn)

隨機(jī)試驗(yàn)是滿足以下三個(gè)條件的試驗(yàn)。

①相同條件下可重復(fù)進(jìn)行。

就是說(shuō)這個(gè)試驗(yàn)不是“可遇不可求”的。

②試驗(yàn)的結(jié)果是多樣化的。

就是說(shuō)試驗(yàn)需要有至少兩個(gè)結(jié)果。比如說(shuō)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做自由落體運(yùn)動(dòng)就只有往下落這一種結(jié)果，這樣的試驗(yàn)不屬于隨機(jī)試驗(yàn)。而像投骰子，結(jié)果可能是1可能是2可能是3。這樣的試驗(yàn)就符合這個(gè)條件

③試驗(yàn)前就可以知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。

還是以投骰子為例。投一次骰子的所有可能結(jié)果是1、2、3、4、5、6，我們?cè)谕吨熬涂梢灾馈?/span>

④試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生。

投骰子前我們不知道能投出什么結(jié)果對(duì)嗎？這樣的試驗(yàn)才符合這個(gè)條件。

2.樣本空間與樣本點(diǎn)

然后是樣本空間。

我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S。

我看到的教材是這么定義的。

百科也是這么說(shuō)的

但我感覺(jué)把所有可能的結(jié)果改成所有可能的基本結(jié)果更好。

加上基本二字就強(qiáng)調(diào)了結(jié)果不可分。

沒(méi)有這兩個(gè)字。。。。。還是說(shuō)投骰子吧。投出的結(jié)果是偶數(shù)好像也符合要求啊。但是偶數(shù)這個(gè)結(jié)果可以分為投出2、投出4、投出6，不屬于基本結(jié)果。這樣改一下我覺(jué)得更合適一些。不知你有何高見(jiàn)。

樣本點(diǎn)就相應(yīng)地改為隨機(jī)試驗(yàn)E中的每一個(gè)可能的基本結(jié)果即樣本空間的元素。(注意，樣本集合是集合)

有時(shí)我們也用Ω或U表示樣本空間。

3.隨機(jī)事件

樣本空間這個(gè)集合中的所有子集都稱為隨機(jī)事件。有時(shí)“偷懶”，會(huì)把隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱為事件。但是嚴(yán)格的說(shuō)，這樣偷懶是不完全恰當(dāng)?shù)摹?/span>

4.隨機(jī)事件間的關(guān)系與運(yùn)算

注意一下，隨機(jī)事件是一個(gè)集合。隨機(jī)事件間的關(guān)系很大程度上是集合間的關(guān)系。

A?B對(duì)應(yīng)到隨機(jī)事件上就是A的發(fā)生必然導(dǎo)致B。

A=B就是A發(fā)生B一定發(fā)生，B發(fā)生A一定發(fā)生。

AUB則稱為A、B的和事件，也可以用A+B表示。

A∩B稱為A、B的積事件，記作AB。

注意，在

中我們介紹了一個(gè)高中沒(méi)教過(guò)的集合運(yùn)算。補(bǔ)集的“升級(jí)版”差運(yùn)算。

到隨機(jī)事件這里，我們稱A-B為A、B的差事件，指的是A發(fā)生且B不發(fā)生這個(gè)事件。以投骰子為例，設(shè)事件A為投出結(jié)果為偶數(shù)，事件B為投出6，則A-B為投出2或4。

補(bǔ)集對(duì)應(yīng)的“隨機(jī)事件”版本是對(duì)立事件。如果A并B是樣本空間，A交B是空集，則稱A和B互為逆事件，或稱A的對(duì)立事件是B。

如果我們?nèi)コ鼳并B是樣本空間這個(gè)條件，只要求A交B為空成立，則此時(shí)A、B互斥。

用人話說(shuō)，互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生。對(duì)立事件屬于互斥事件。對(duì)立事件相當(dāng)于“原事件的反面”。

算了，上韋恩圖吧。

至于它們的運(yùn)算律，我以前講集合的時(shí)候說(shuō)過(guò)了，這里就不說(shuō)了。

2.概率的公理化

現(xiàn)在我們終于可以將概率公理化了。

在說(shuō)公理前我提示一下，概率可以看做是一個(gè)映射(或者稱為集合函數(shù))。它輸入隨機(jī)事件(集合)，輸出實(shí)數(shù)。這個(gè)映射給每一個(gè)隨機(jī)事件都賦予了一個(gè)實(shí)數(shù)，我們記為P(A)。P(A)稱為A事件的概率。

好。

現(xiàn)在我們對(duì)概率這個(gè)映射做一些限制。這些限制是以公理的形式出現(xiàn)，不能直接證明。

1.非負(fù)性

對(duì)于任意的隨機(jī)事件A來(lái)說(shuō)，P(A)總是不小于0。

2.規(guī)范性

對(duì)于必然發(fā)生的事件S來(lái)說(shuō)，P(S)=1。

3.可列可加性

這個(gè)說(shuō)起來(lái)挺簡(jiǎn)單的，就是這個(gè)公式

設(shè)A1,A2,A3......是兩兩互不相容的事件，則有

注意：這仨兄弟是概率的定義。滿足上面條件的映射稱為概率。因此，在這個(gè)公理化體系中這仨兄弟不需要證明。

到這里才算是建立了概率的公理化體系。

但是這個(gè)體系還不夠完善，它就只有一個(gè)框架。

下一期我們繼續(xù)豐富這個(gè)體系，給這個(gè)體系添加一些定理，再引入一些概率模型，這樣這個(gè)體系就相對(duì)完整了。

之后，我們還會(huì)研究隨機(jī)變量的數(shù)字特征以及一些特殊的概率分布。

如果可能，以后說(shuō)不定會(huì)介紹連續(xù)型隨機(jī)變量和多維隨機(jī)變量。