有一些數(shù)列題，比如： a{n+1} = (1-an)/(1+an)，給定 a1= k ，求 a2020。像這一類的數(shù)列題，一般都是代個幾項去歸納否有周期規(guī)律。這類問題搭配函數(shù)圖像顯示，就可發(fā)現(xiàn)其規(guī)律關(guān)系或者收斂情況。

這個任務(wù)主要就帶大家用 Geogebra 探究分式型迭代的關(guān)系，將迭代的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)來顯示可以觀察出其迭代的周期性。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)

利用表格進(jìn)行迭代

使用序列與扁平列表來建立交錯型的點(diǎn)列

利用 Polyline 來繪制折線段

任務(wù)1： 用表格區(qū)計算迭代結(jié)果

? 在這部分我們希望能讓程式自動計算出迭代 n 次的結(jié)果. 對于這類的迭代可以使用 Geogebra 的表格區(qū)來達(dá)成。給定迭代的函數(shù) f ， A1 為初始值， ?使得 A2 = f(A1), A3=f(A2), .... 。 要達(dá)成這效果可通過對表格的拖拉來完成。關(guān)鍵步驟如下:

f(x)= 1/(1+x)

A1 = 1

A2 = f(A1)

#從A2開始下拉, 將公式復(fù)制到 A23

任務(wù)2： 將迭代結(jié)果轉(zhuǎn)化成點(diǎn)列顯示在表格區(qū)? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

為了將迭代的結(jié)果圖示化，要先將數(shù)值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)。在這有三類點(diǎn) Bs，Cs，Ds。其中 Bs 為 x 軸上的點(diǎn)，因此 B1 定義為 (A1,0)。而 Cs 為映射到函數(shù)后的點(diǎn)，因此 C1=(A1,f(A1) )。 最后，為了達(dá)到將 這次的 y 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為下次的 x 坐標(biāo)，就需要將這個點(diǎn)在映射到 y=x 上。因此，D1=(f(A1),f(A1)) 。關(guān)鍵步驟如下:

B1 =(A1,0)

C1 =(A1,f(A1))

D1 = (f(A1),f(A1))

y=x

#將 B1,C1,D1開始下拉, 將公式復(fù)制到 B23，C23, D23

任務(wù)3： 利用扁平列表來制作折線段? ? ? ? ? ?

在建好點(diǎn)后，我們要用一個滑動條 n 來控制這些點(diǎn)的連線的出現(xiàn)。在這主要使用 sequence 與 polyline 來連線。先建立點(diǎn)列 Bs Cs Ds， 接著利用 Sequence({Bs(k),Cs(k),Ds(k)},k,1,n) 來依序連接 B1,C1,D1; B2,C2,D2; B3,C3,D3;... 。但使用這語法會形成雙層序列，因此，需要利用 flatten 指令來將這個轉(zhuǎn)化為單層的序列，才能使用 polyline 來連接這些點(diǎn)。 ?關(guān)鍵步驟如下:

n = Slider(1,23,1)

Ls = flatten(Sequence({Bs(k),Cs(k),Ds(k)},k,1,n))

polyline(Ls)

任務(wù)4： 用向量來標(biāo)示最后一次迭代結(jié)果? ? ? ? ? ?

當(dāng)連線過多時，不易察覺最后一次的位置。這時可以利用向量來將最后一次的連線標(biāo)注。細(xì)節(jié)操作如下：

vbn = Vector(Bs(n), Cs(n))

vcn = Vector(Cs(n), Ds(n))

任務(wù)5： 用if與滑動條來切換不同函數(shù)的顯示? ?? ? ? ??

到此已經(jīng)可以顯示一個函數(shù)的迭代情況，若要快速顯示不同函數(shù)的迭代情況，可以加入一個滑動條 t ，搭配 if 函數(shù)來切換不同的函數(shù)。以下用三個函數(shù)的切換為例，關(guān)鍵指令如下：

t = slider(1,3,1)

f1(x) = 1/(1+x)

f2(x) = (1-x)/(1+x）

f3(x) = (1+x)/(1-x）

f(x) = If( t==1,f1,t==2,f2,f3)

總結(jié)回顧

利用圖示來顯示迭代的過程可以方便觀察到迭代的周期性與收斂情況。當(dāng)函數(shù)圖像對 y=x 對稱時， 例如 y=(1-x)/(1+x) ?可改寫為 xy+y+x=1 。這類函數(shù)的迭代周期都為 2 。而當(dāng)函數(shù)圖像對 y=-x 對稱時， 例如 y=(1+x)/(1-x) ?可改寫為 xy+y-x=1 , 這類函數(shù)的迭代周期都為 4 。而對于 y=1/(1+x) 其迭代最后會收斂在 y=x 與 y=1/(1+x) 的交點(diǎn)。這時可解出其收斂值為黃金比例 0.618。 除了，以上三個函數(shù)，大家也可再試試看其他的函數(shù)的迭代情況。

相關(guān)鏈接

【GGB】https://www.geogebra.org/classic/hmchaz6d

【Bili】https://www.bilibili.com/video/bv1ii4y1L77u

【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JKFpX8oPPpYBa5T4o-s3qz