所有學(xué)線代的人都必須透徹理解和應(yīng)用正交變換。 正交變換圖形上最直觀的作用是：一巴掌把歪七扭八的圖形打正，如下： 一巴掌把圖形打正 圖形立正的同時(shí)，不改變其大小與形狀，原理后面說。 而圖形立正后，表達(dá)式也隨之立正，\ce{x_{i}x_{j}}群魔退散，平方項(xiàng)真身顯現(xiàn)，這樣有什么好處呢？ 考研主要涉及下列方面： 1.橢圓長(zhǎng)軸、短軸一目了然(后有考研真題案例) 2.巧解多元函數(shù)條件極值 3.構(gòu)造卡方分布(數(shù)一/三了解) 4....自行補(bǔ)充 第一個(gè)是比較好理解，第二個(gè)次之，第三個(gè)較難。這里我從易到難，用題目來舉例。 例題一： 求橢圓\ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}的面積。 常規(guī)思路： 在\ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}的條件下，通過求\ce{x^{2} +y^{2}}的最大值和最小值，來找長(zhǎng)半軸和短半軸，再用橢圓面積公式 \ce{S=\pi ab}計(jì)算。 正交變換化標(biāo)準(zhǔn)型思路： 直接找出長(zhǎng)短軸，再套橢圓面積公式，過程如下： \ce{2x^{2} +4xy +5y^{2}=1}，改寫成 {X^{T} {\begin{pmatrix} 2&2\\ 2&5 \end{pmatrix}}?X=1}\\ 再求正交變換X=QY中的Q，進(jìn)入標(biāo)準(zhǔn)化的無腦模式 ① 求特征值和特征向量 \ce{\left| \lambda E - A \right|=0\Rightarrow \lambda_{1}=6,\lambda_{2}=1} \ce{( \lambda_{i} E - A) \alpha=0\Rightarrow \alpha_{1}=(1,2)^{T},\alpha_{2}=(-2,1)^{T}} ② 特征向量正交化、單位化 \ce{\alpha_{1}，\alpha_{2}}，單位化：\ce{\alpha'_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\left| \alpha_{1} \right|}，\alpha'_{2}=\frac{\alpha_{2}}{\left| \alpha_{2} \right|}} \ce{Q=(\alpha'_{1},\alpha'_{2})} ③ 化標(biāo)準(zhǔn)型 \ce{f=X^{T}AX}在X=QY作用下，化為\ce{f=y^{T}Q^{T}AQy=6y_{1}^{2} +y_{2}^{2}} ∴橢圓表達(dá)式化為：{6y_{1}^{2} +y_{2}^{2}=1\Rightarrow\frac{y_{1}^{2} }{\left(\frac{1}{\sqrt{6}} \right)^{2}} +\frac{y_{2}^{2} }{\left(1 \right)^{2}} =1} ∴\ce{a=1,b=\frac{1}{\sqrt{6}}}，∴有\(zhòng)ce{S=\pi ab\Rightarrow S=\frac{1}{\sqrt{6}}\pi} 例題二： 設(shè)\ce{f(x_{1},x_{2},x_{3})=X^{T}AX=3x_{1}^{2} +6x_{2}^{2} +3x_{3}^{2} -4x_{1}x_{2} -8x_{1}x_{3} -4x_{2}x_{3}}，求其在條件\ce{x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2}=1}下的極小值。 解：①求特征值 \ce{A=} {\begin{pmatrix} 3&-2&-4 \\ -2&6&-2\\ -4&-2&3\\ \end{pmatrix}}?∴\ce{\left| \lambda E - A \right|=(\lambda-7)^{2}(\lambda + 2)}, ∴\ce{\lambda_{1}=\lambda_{2}=7},\ce{\lambda_{3}=-2} ②利用正交矩陣標(biāo)準(zhǔn)化 由于實(shí)對(duì)稱陣一定能對(duì)角化，故一定存在正交陣Q使 \ce{X^{T}AX\rightarrow Y^{T}Q^{T}AQY=Y^{T}}{{\begin{pmatrix} 7& &?\\?&7& \\?& &-2\\ \end{pmatrix}} Y}=\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}} ③ 求極小值 設(shè)X=\ce{(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}}, ∴\ce{X^{T}X=x_{1}^{2} +x_{2}^{2} +x_{3}^{2}}? ∴條件：\ce{X^{T}X=1}經(jīng)過正交變換后X=QY\ce{\Rightarrow}\ce{X^{T}X=Y^{T}Q^{T}QY=y_{1}^{2} +y_{2}^{2} +y_{3}^{2}=1} ∴題目變成: 在\ce{y_{1}^{2} +y_{2}^{2} +y_{3}^{2}=1}條件下，求\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}}的極小值。 怎么求簡(jiǎn)單？注意到\ce{y_{1}^{2},y_{2}^{2},y_{3}^{2}}和為1，而\ce{7y_{1}^{2} +7y_{2}^{2} -2y_{3}^{2}}只有\(zhòng)ce{y_{3}^{2}}前面是負(fù)號(hào)，當(dāng)然\ce{y_{3}^{2}}負(fù)的越多，\ce{y_{1}^{2},y_{2}^{2}}正的越少，那么式子值越小，那我們直接讓\ce{y_{3}^{2}=1},\ce{y_{1}^{2}=y_{2}^{2}=0}不就滿足了么。