題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在本站高等代數(shù)習(xí)題課的課后思考題，本文僅供學(xué)習(xí)交流??

習(xí)題課視頻鏈接：復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)習(xí)題課_嗶哩嗶哩_bilibili

本人解題水平有限，可能會有錯誤，懇請斧正！

Remark:

練習(xí)題1? 我們利用的是高代白皮書例2.34的結(jié)論，只用第三類初等變換就可以把一個可逆陣轉(zhuǎn)化為如下對角陣，然后利用單位陣也可以看作第三類初等變換，我們就解決了這個問題

練習(xí)題2? 這個與視頻中的例題略有不同，視頻中的例題用的是第三類初等變換，而這里限制了第三類初等行變換，條件更加苛刻，不過依舊可以做，反復(fù)使用行變換一步一步，先化為三角陣，然后化為對角陣，再繼續(xù)做下去就可以將除了右下角的對角線元素化為1，根據(jù)第三類初等變換不改變行列式的值以及對角陣行列式計(jì)算的方法，我們可以知道右下角元素應(yīng)該是

練習(xí)題3??本題利用單次計(jì)算的迭代就可以證明，先證充分性，對對角陣，右邊乘第一類或第二類初等矩陣，同時左邊乘它的逆陣，應(yīng)該還是對角陣，由是若干個第一類初等矩陣、第二類初等矩陣的和，可以得到充分性.再證必要性，由非異陣可以化為若干個初等陣的乘積，于是只需要證明第三類初等陣不能滿足題意即可，之后由任意性可知第三類初等陣確實(shí)不能滿足題意，于是我們就完成了證明

練習(xí)題4? 主要利用了循環(huán)矩陣的階數(shù)次冪等于單位陣的性質(zhì)，于是可以使用待定系數(shù)法，獲得一個線性方程組，由Cramer法則，需要計(jì)算若干個比較復(fù)雜的行列式，主要是化為了三角陣來計(jì)算，具體的過程可以參考下面的圖片，有些跳步，如果有疑問可以在評論區(qū)交流

練習(xí)題6? 直接計(jì)算逆陣較復(fù)雜，我們先使用了置換矩陣，將它化為了一個比較容易使用初等變換法求逆陣的形式，然后利用前幾節(jié)習(xí)題課中的置換矩陣的性質(zhì)，就可以求出這個矩陣的逆陣