注：自行定義和理解，并沒有官方解釋。

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前言：向量的除法并沒有官方定義，接下來根據(jù)個(gè)人理解進(jìn)行理解定義探究：（加黑體字母為向量）

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（1）向量除法解釋：（暫且叫做數(shù)量商）

我們可以類比復(fù)數(shù)的除法，將其“分母”有理化，我們知道兩個(gè)向量相除的難點(diǎn)在于方向的統(tǒng)一化，我們知道向量的數(shù)量積計(jì)算也是由方向的統(tǒng)一來定義的，那么，我們用高中必修二教材的一個(gè)方法來進(jìn)行推論：

令：a=(x?，y?),b=(x?，y?),i,j為單位向量

則：a=x?i+y?j,b=x?i+y?j。

那么：a/b=(x?i+y?j)/（x?i+y?j）,上下同乘（x?i+y?j），因?yàn)?strong>i×j=0,i×i=j×j=1,原式化簡(jiǎn)為: （x?x?+y?y?）/（x?2+y?2），即：a/b=（x?x?+y?y?）/（x?2+y?2）

這也就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量商的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)等于他們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的積除以分母向量的模的平方。

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（2）向量的除法公式推理：

前面我們用向量的坐標(biāo)表示來推理了向量數(shù)量商的定義，那么我們將坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成向量的除法公式：

設(shè)有a和b向量由（1）中的坐標(biāo)表示可以推斷：a/b=(a?b)/(|b|2)=(|a||b|cosθ)

/(|b|2)=(|a|cosθ)/(|b|)。

????這也就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量商等于分子向量的模在分母向量的投影與分母向量的模的商。

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如上圖所示：

（3）向量數(shù)量商的性質(zhì)

根據(jù)向量數(shù)量商的定義，我們可以推斷以下重要性質(zhì)：

①a?b? a/b=0

②當(dāng)a與b同向：a/b=|a|/|b|,當(dāng)a與b反向：a/b=-|a|/|b|。

③此外：|cosθ|≤1，則|a/b|≤|a|/|b|

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（4）向量數(shù)量商的運(yùn)算律

根據(jù)向量數(shù)量商的定義，我們可以推斷以下運(yùn)算律成立：

a/b=1/（b/a）

a/?b=（1/?）?（a/b）〔交換律〕

(a+b)/c=(a/c)+(b/c)〔分配律〕

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（5）倒數(shù)向量的計(jì)算

???我們探究了向量的數(shù)量商的一些性質(zhì)，但是我們常常會(huì)遇到形如1/b的形式，我們給它一個(gè)定義，叫它倒數(shù)向量，接下來，我們來研究探索倒數(shù)向量的性質(zhì)：

令：a=(x?，y?)，b=(x?，y?),1/b=(?，?)，那么由數(shù)量積的定義a?（1/b）=x??+y??， 又因?yàn)?strong>a/b=（x?x?+y?y?）/（x?2+y?2），則x??+y??=（x?x?+y?y?）/（x?2+y?2），通過整理解出?=x?/（x?2+y?2），?=y?/（x?2+y?2）。

即，若b=(x?，y?)，那么1/b=（x?/〔x?2+y?2〕,y?/〔x?2+y?2〕)

（注：小括號(hào)里面有中括號(hào)是為了區(qū)分。）

且易得|1/b|=1/|b|（通過上文推出）

這就是說：b對(duì)應(yīng)的倒數(shù)向量1/b的坐標(biāo)等于原坐標(biāo)分別除以|b|2。

我們知道b/|b|=e=（x?/√〔x?2+y?2〕，y?/√〔x?2+y?2〕），并且根據(jù)前面推理還可知道|b|/b=（x?/√〔x?2+y?2〕，y?/√〔x?2+y?2〕），所以b/|b|=|b|/b。

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（6）倒數(shù)向量的運(yùn)算

令：a=(x?，y?)，b=(x?，y?)。

由（5）可得1/a=（x?/〔x?2+y?2〕,y?/〔x?2+y?2〕),1/b=（x?/〔x?2+y?2〕,y?/〔x?2+y?2〕)。

則（1/a）+(1/b)=(x?/〔x?2+y?2〕+x?/〔x?2+y?2〕,y?/〔x?2+y?2〕+ ??????y?/〔x?2+y?2〕)。由于形式復(fù)雜不便記憶，我們可以用另一個(gè)方法：（1/a）+(1/b)=

（a+b）/（a?b）=（〔x?+x?〕/〔x?x?+y?y?〕，〔y?+y?〕/〔x?x?+y?y?〕）。

??這也就是說：兩個(gè)倒數(shù)向量的和的坐標(biāo)等于原向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)之和除以對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和的商。

??用向量表達(dá)：兩個(gè)倒數(shù)向量之和等于原向量的和除以原向量數(shù)量積的商。

??同理，也可推得（1/a）-(1/b)=（〔x?-x?〕/〔x?x?+y?y?〕，〔y?-y?〕/〔x?x?+y?y?〕）。

??所以我們可以推斷：倒數(shù)向量的運(yùn)算性質(zhì)與代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)雷同，我們可以用代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去推斷倒數(shù)向量的運(yùn)算性質(zhì)。

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（7）向量的三角表達(dá)式

??我們知道一個(gè)向量是可以“擺在”數(shù)軸上，我們可以利用這個(gè)定義寫出“坐標(biāo)”（必修二課本），那么我們可以用這個(gè)定義來寫出向量的三角表達(dá)式：

令：a=(x?，y?)，那么：a=(cosα|a|，sinα|a|)，α=<a，i>(i為x軸上的單位向量）。這樣的表達(dá)形式有利于我們便捷的研究三角函數(shù)的一些簡(jiǎn)單推理。

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（8）倒數(shù)向量的三角表達(dá)式

??由（7）可知：令：a=(x?，y?)，那么：a=(cosα|a|，sinα|a|)，α=<a，i>(i為x軸上的單位向量），所以我們同樣可以推斷計(jì)算倒數(shù)向量的三角表達(dá)式，并探究它的性質(zhì)：

?可以推斷：x?/√〔x?2+y?2〕=cosα

那么?1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)

這也就是說：倒數(shù)向量可以由三角形式表示為：倒數(shù)向量的坐標(biāo)等于原向量的余弦與正弦值除以其模的商。

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（9）倒數(shù)向量的運(yùn)算三角表達(dá)式 ???????由（8）可知令：a=(x?，y?)，b=(x?，y?)，那么 1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)，1/b=(cosθ/|b|，sinθ/|b|),α=<a，j>,θ=<b，i>(i為x軸上的單位向量)。

那么有下面運(yùn)算：

（1/a）±（1/b）=（〔cosα/|b|±cosθ/|a|〕/〔sinαcosα+sinθcosθ〕，〔sinα/|b|±sinθ/|a|〕/〔sinαcosα+sinθcosθ〕)

其他倒數(shù)向量計(jì)算也可以通過這樣的方法計(jì)算，有人會(huì)問了，這有什么用？來吧咱們探究一下有什么用吧！

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（10）倒數(shù)向量的運(yùn)算三角表達(dá)式的運(yùn)用

?令：a=(x?，y?)，b=(x?，y?)，那么 1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)，1/b=(cosθ/|b|，sinθ/|b|),α=<a，i>,θ=<b，i>(i為x軸上的單位向量)。

那么a/b=〔|a||b|（sinαsinθ+cosαcosθ）〕/|b|2=〔|a|（sinαsinθ+cosαcosθ）〕/|b|，α=<a，j>,θ=<b，j>(j為y軸上的單位向量)

由（2）得，設(shè)有a/b=(|a|cos?)/(|b|)，?=<a，b>.

如圖所示：

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即α-θ=?,則有cos(α-θ)=cos?,所以sinαsinθ+cosαcosθ=cos?

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所以，我們可以較簡(jiǎn)便地去推斷三角函數(shù)的一些計(jì)算，就像上面一樣，其實(shí)a=(x?，y?)=(cosα|a|，sinα|a|)，只是一種表達(dá)形式，用于簡(jiǎn)單的計(jì)算，是一個(gè)基礎(chǔ)變換工具，可以用于分析多種三角函數(shù)公式，用于簡(jiǎn)單的推理。

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（11）運(yùn)算總結(jié)：（坐標(biāo)型）〔向量不為零向量〕

令：a=(x?，y?),b=(x?，y?)，則有

①a/b=（x?x?+y?y?）/（x?2+y?2）

②1/a=（x?/〔x?2+y?2〕,y?/〔x?2+y?2〕)

③?（1/a）±(1/b)=（〔x?±x?〕/〔x?x?+y?y?〕，〔y?±y?〕/〔x?x?+y?y?〕）。

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（12）運(yùn)算總結(jié)：（公式型）〔向量不為零向量〕

①a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>

②1/a=a/|a|2

③（1/a）±(1/b)=（a±b）/（a?b）

④1/a=(cosα/|a|，sinα/|a|)α=<a，j>(j為y軸上的單位向量）

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（13）運(yùn)算總結(jié)：（文字型）〔向量不為零向量〕

①兩個(gè)向量的數(shù)量商等于分子向量的模在分母向量的投影與分母向量模的平方。（公式型）

②兩個(gè)向量的數(shù)量商的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的數(shù)量積除以分母向量模的平方。（坐標(biāo)型）

③一個(gè)向量的倒數(shù)向量等于其原向量除以向量模的平方。（公式型）

④一個(gè)向量的倒數(shù)向量等于其原坐標(biāo)除以向量模的平方。（坐標(biāo)型）

⑤兩個(gè)倒數(shù)向量的和差等于原向量之和差除以兩個(gè)向量數(shù)量積的商。（公式型）

⑥兩個(gè)倒數(shù)向量的和差等于原向量坐標(biāo)之和差除以對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和的商。（坐標(biāo)型）

⑦向量可以由三角形式表示：Ⅰ、向量的坐標(biāo)三角表達(dá)為：余弦值與模的積和正弦與模的積。Ⅱ、倒數(shù)向量的坐標(biāo)等于原向量的余弦和正弦值除以模的商。

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（14）性質(zhì)總結(jié)

①a?b? a/b=0

②當(dāng)a與b同向：a/b=|a|/|b|,當(dāng)a與b反向：a/b=-|a|/|b|。

③此外：|cosθ|≤1，則|a/b|≤|a|/|b|

④a/b=1/（b/a）

⑤a/?b=（1/?）?（a/b）

⑥(a+b)/c=(a/c)+(b/c)

⑦|1/a|=1/|a|

⑧a/|a|=|a|/a

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后記：

前面所有推論均為個(gè)人理解，如有錯(cuò)誤或者改進(jìn)敬請(qǐng)讀者批評(píng)，個(gè)人接受所有批評(píng)改正，謝謝。（下一篇文章會(huì)闡述關(guān)于向量的除法存在的一些見解，時(shí)間大概也在五一期間）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2023/4/29

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?附：本文的一些結(jié)論推理

一：向量的等式性質(zhì)【（1）中用了】

有非零向量a,b。常數(shù)x,y。則有以下性質(zhì):

x/y=xa/ya

=x|a|/y|a|

=x|a|2/y|a|2

=x(a+b)/y(a+b)

=x(a+b)2/y(a+b)2

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注：錯(cuò)誤使用:

a?b=a?c，所以c=b(錯(cuò)誤的），證明如下圖

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(下一篇文章也會(huì)再次證明）

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二：數(shù)量商的數(shù)量積推理【附加】

有a?b=|a||b|cosθ，同除以|b|2（是個(gè)數(shù)）

有特殊：|b|2=b2=b?b,可化簡(jiǎn)為a?b/|b|2=a?b/b?b，可化簡(jiǎn)為:a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，θ=<a，b>。

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三： 性質(zhì)錯(cuò)誤的解釋【原（3）中的①】

有a?b=|a||b|cosθ，設(shè)a=（1，0），|a||b|cosθ=1，可以得到b有多解，b?=（1，√3/3），b?=(1,√3),原因如圖

由倒數(shù)向量可知b?=（√3/2，1/2），b?=(1/2,√3/2)，明顯的a=（1，0），但|a|cosθ?e=

|a|cosθ?b/|b|=(3/4,√3/4),則a≠|a|cosθ?e。（此方法在下一篇文章還會(huì)用到）

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四：部分性質(zhì)的解釋【③中】

Ⅰ、a?b? a/b=0

證明:

a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，因?yàn)棣?90°，則cosθ=0，則a/b=0，所以a?b? a/b=0

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Ⅱ、②當(dāng)a與b同向：a/b=|a|/|b|,當(dāng)a與b反向：a/b=-|a|/|b|。

證明：因?yàn)?strong>a與b同向，則cosθ=1，所以a/b=|a|/|b|。因?yàn)?strong>a與b反向：則cosθ=-1，所以a/b=-|a|/|b|。

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Ⅲ、③此外：|cosθ|≤1，則|a/b|≤|a|/|b|

證明：因?yàn)?strong>a/b=(|a|cosθ)/(|b|)，|cosθ|≤1，則(|a|cosθ)/(|b|)≤|a|/|b|，即|a/b|≤|a|/|b|。

注：未經(jīng)允許，任何人不可以以任何方式大量復(fù)制本文，本篇文章為原創(chuàng)文章，作者擁有最高解釋權(quán)。

再后記：后面的解釋也是個(gè)人理解，有不對(duì)的地方請(qǐng)各位讀者批評(píng)指正，謝謝。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2023/4/29

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