前言

? ? 在理科數(shù)學(xué)的高考卷中，立體幾何作為必考大題每年都會以較為固定的形式考察，而它的第二問常?？疾臁?strong>二面角”，最為常見的形式就是求解二面角的余弦值。不少同學(xué)在計算余弦值時經(jīng)常會遇到判斷二面角是鈍角還是銳角的問題（即判斷余弦值的正負(fù)），一般情況下，可以通過簡單觀察原圖來進(jìn)行大略的判斷，可一旦出現(xiàn)：原圖繪制不嚴(yán)謹(jǐn)；題設(shè)的二面角存在變動；肉眼難以看出二面角的銳鈍等情況時，大略的判斷往往就不奏效了

? ? 本文給讀者介紹一種用向量運算直接準(zhǔn)確判斷二面角余弦值正負(fù)的方法，此法套路性非常強，不需要深入理解原理也能很好地使用，同時計算量也相當(dāng)友好，不會出現(xiàn)繁瑣的數(shù)值運算等。作者能力有限，文章存在紕漏在所難免，望讀者朋友不吝指出

——朦朦

方法概述

已知兩平面、，且的一個法向量為，的一個法向量為；存在點，點

用公式：??（注意！分子不能加絕對值）

求出兩法向量夾角（記為）的余弦值

連接 面上的任意點?與 面上的任意點?，構(gòu)成向量（或）

做以下運算：

? ?...........①

? ?...........②

將得到的兩個結(jié)果①與②進(jìn)行比較：

如果①與②符號相同，則面與面成的二面角就是兩平面的法向量夾角，此時二面角余弦值就是先前算出來的?

如果①與②符號相反，則面與面成的二面角為兩平面的法向量夾角的補角，此時二面角余弦值為先前算出來的??的相反數(shù)，即?

圖解原理

（這一部分可以跳過，直接看應(yīng)用）

① 當(dāng)向量??與兩個法向量?、?的夾角同為銳角或同為鈍角（即點乘后所得結(jié)果同號）時，二面角的大小與兩個法向量的夾角相等，如下圖：

②當(dāng)向量??與其中一個法向量??的夾角為銳角，而與另外一個法向量? 的夾角為鈍角（即點乘后所得結(jié)果異號）時，二面角的大小與兩個法向量的夾角互補，如下圖：

總結(jié)起來就是“同等異補”，即向量??與兩法向量?、?的點乘結(jié)果的符號相同，則二面角的大小與兩個法向量的夾角相等，否則就是互補的關(guān)系。

實際應(yīng)用

這道題里，紅線下方的步驟就是用上述方法判斷二面角余弦值正負(fù)，當(dāng)然，讀者在自己做題的時候，不必寫得如此詳細(xì)，甚至可以在草稿紙上運算這些步驟，只把結(jié)果寫在答卷上也完全沒問題

值得注意的地方就是，與觀察法不同，在計算兩法向量夾角余弦（即使用公式?? ）時，不能在分子上加絕對值，否則就不能用此法來判斷二面角余弦值的正負(fù)了