(續(xù)4)自考工程數(shù)學(xué)27054概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二02197隨筆 加油(? ??_??)?，祝各位同學(xué)逢考必過 第四章數(shù)字特征(期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)) (1)數(shù)學(xué)期望E(X)定義 一維離散型: ①E(X)=∑xi·P{X=xi},其中i=1,2,... ②設(shè)Y=g(X),則E(Y)=∑g(xi)·P{X=xi},其中i=1,2,... 一維連續(xù)型: ①E(X)=∫x·f(x)dx，-∞＜x＜+∞ ②設(shè)Y=g(X),則E(Y)=∫g(x)·f(x)dx，-∞＜x＜+∞ 二維離散型: 設(shè)Z=g(X,Y).則E(Z)=∑∑g(xi,yj)·P{X=xi},i,j=1,2,...

二維連續(xù)型: 設(shè)Z=g(X,Y).則E(Z)=∫g(x,y)·f(x)dx，-∞＜x,y＜+∞ (2)期望E(X)的性質(zhì) ①E(X±Y)=E(X)±E(Y) ②E(cX)=cE(X) ③E(C)=C. ④X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)·E(Y). (3)方差D(X)的計(jì)算 計(jì)算方式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2. (4)方差D(X)的性質(zhì) ①D(X+C)=D(X), ②D(cX)=c2D(X), ③X與Y相互獨(dú)立，則D(X±Y)=D(X)+D(Y), ④重要性質(zhì):D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y).(√D(X)·√D(Y)) (5)協(xié)方差Cov(X,Y)的計(jì)算 法一:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y). 方二:Cov(X,Y)=ρ·(√D(X)·√D(Y)) 法三Cov(X,Y)=[D(X±Y)-D(X)-D(Y)]/2 (6)協(xié)方差的性質(zhì) ①Cov(aX,bY)=ab·Cov(X,Y), ②Cov(X,Y1+Y2)=Cov(X,Y1)+Cov(X,Y2) ③Cov(X,X)=D(X) (7)相關(guān)系數(shù)ρ ρ=Cov(X,Y)/(√D(X)·√D(Y)). (8)獨(dú)立與不相關(guān)的關(guān)系:獨(dú)立＝＞不相關(guān). 特例:X,Y都服從正態(tài)分布，則獨(dú)立＜＝＞不相關(guān). (9)不相關(guān)的等價(jià)描述: X與Y不相關(guān) ＜＝＞ρ=0 ＜＝＞Cov(X,Y)=0 ＜＝＞E(XY)＝E(X)·E(Y) ＜＝＞D(X±Y)＝D(X)?D(Y).