01?前言

? ? ? ?前文我們對(duì)結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算問(wèn)題需要的實(shí)體單元數(shù)量進(jìn)行了一個(gè)基本的探討，通過(guò)實(shí)例計(jì)算和對(duì)比大家會(huì)發(fā)現(xiàn)：高階單元和低階六面體單元，只要按照常規(guī)去劃分網(wǎng)格，單零件的靜剛度問(wèn)題計(jì)算并不困難（薄壁問(wèn)題需要特別注意）。

? ? ? ?但好像平時(shí)分析大家總是擔(dān)心自己的網(wǎng)格精度不夠，并且強(qiáng)調(diào)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性的重要性，這又是為什么呢？

? ? ? ?實(shí)際上，通常我們擔(dān)心的并不是網(wǎng)格對(duì)于剛度（變形）計(jì)算精度不夠，而是擔(dān)心網(wǎng)格對(duì)于強(qiáng)度（應(yīng)力）計(jì)算精度不夠，這是由于剛度問(wèn)題是一個(gè)全局問(wèn)題，而強(qiáng)度問(wèn)題是一個(gè)局部問(wèn)題，這也就意味著，需要在局部劃分足夠的網(wǎng)格才能捕捉到詳細(xì)的應(yīng)力變化情況（關(guān)于局部加密技術(shù)見(jiàn)文章CAE前處理 | 網(wǎng)格局部加密）。

? ? ? ?然而具體要?jiǎng)澐侄嗌倬W(wǎng)格才能夠捕捉到局部應(yīng)力呢？說(shuō)實(shí)話，這個(gè)問(wèn)題非常復(fù)雜并且沒(méi)有定論，因?yàn)槿魏我粋€(gè)結(jié)構(gòu)局部應(yīng)力的變化和結(jié)構(gòu)的形狀以及受載方式息息相關(guān)，我們基本只能通過(guò)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證去得知當(dāng)前的網(wǎng)格密度是否合適。

? ? ? ?可是，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證工作量巨大并且對(duì)于裝配體分析往往不太現(xiàn)實(shí)。因此，對(duì)于一些典型的結(jié)構(gòu)特征如果能夠得到一個(gè)大致的參考規(guī)律，那么很多時(shí)候就不必再進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證或者只用進(jìn)行少數(shù)的驗(yàn)證。

? ? ? ?針對(duì)這樣一種需求，本文包括以后一些文章會(huì)間斷地針對(duì)一些典型的特征進(jìn)行分析對(duì)比，意圖得到哪怕一丟丟對(duì)于應(yīng)力計(jì)算有用的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果。由于圓角是最為常用的一類幾何特征，因此本文主要就圓角的應(yīng)力計(jì)算進(jìn)行一定的對(duì)比說(shuō)明并試圖得到些許規(guī)律。當(dāng)然，我并不希望大家直接翻到最后看結(jié)果，而希望能夠關(guān)注于探討的過(guò)程和方法，因?yàn)榫拖袂拔乃f(shuō)，應(yīng)力問(wèn)題千千萬(wàn)，知道這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果并不會(huì)對(duì)自身的能力有多大幫助。

02?模型選取

? ? ? ?與前篇文章思路一致，要得到規(guī)律性結(jié)果的前提是找到具有典型特征的結(jié)構(gòu)模型和工況。經(jīng)過(guò)篩選，本文選取有圓角過(guò)渡的臺(tái)肩模型作為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比模型：

主要原因有幾點(diǎn)：

? ? ? ?①模型經(jīng)典，在一般的應(yīng)力集中系數(shù)手冊(cè)中都可以查到其理論/試驗(yàn)結(jié)果 （這里查詢大量資料貌似有限元計(jì)算結(jié)果和光測(cè)彈性力學(xué)試驗(yàn)得到的結(jié)果存在大概10%的差距，因此本文暫時(shí)不以試驗(yàn)結(jié)果做為參考標(biāo)準(zhǔn)）

? ? ? ?②工況經(jīng)典，彎曲/拉伸/扭轉(zhuǎn)都是圓軸可能受到的典型工況，因此也具有典型的應(yīng)力集中現(xiàn)象?

? ? ? ?③拓展性強(qiáng)，圓軸模型作為典型的廣義平面應(yīng)變模型，得到的很多結(jié)果可以直接拓展到2D問(wèn)題中，并且由于具有3D特征，因此很多結(jié)論同樣也適用于其它三維模型。

? ? ? ?因此，本文選擇該模型作為對(duì)比的標(biāo)準(zhǔn)模型。并且由于低階四面體，高階四面體，低階六面體，高階六面體都是現(xiàn)在常用的實(shí)體單元類型，所以文章會(huì)對(duì)這些單元的計(jì)算結(jié)果都進(jìn)行一個(gè)評(píng)估對(duì)比。

03?分析規(guī)劃

? ? ? ?分析對(duì)比一定不是盲目地，而是需要針對(duì)所分析的問(wèn)題去仔細(xì)規(guī)劃，而正式規(guī)劃之前，我們還必須對(duì)所分析的問(wèn)題具有一定程度的了解。臺(tái)肩在受到標(biāo)準(zhǔn)拉伸載荷時(shí)的應(yīng)力分布：

? ? ? ?首先，應(yīng)力熱點(diǎn)位置出現(xiàn)在臺(tái)肩過(guò)渡圓角根部，也就是說(shuō)這里是后續(xù)進(jìn)行局部加密的重點(diǎn)區(qū)域。

? ? ? ?其次，應(yīng)力集中具有軸對(duì)稱性，因此后續(xù)并不需要對(duì)周向網(wǎng)格的劃分進(jìn)行探討。

? ? ? ?下面我們來(lái)看下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力在繞軸向和徑向的分布特點(diǎn)：

? ? ? ? 顯然，繞軸線方向和徑向方向上應(yīng)力均具有典型的非線性變化，也就是說(shuō)和常規(guī)的彎曲/扭轉(zhuǎn)線性應(yīng)力，拉伸均勻應(yīng)力不同，我們確確實(shí)實(shí)需要使用更密的網(wǎng)格才能去捕捉到這些非線性變化趨勢(shì)。

? ? ? ?同時(shí)我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)，沿著軸線方向的應(yīng)力變化比徑向方向更加附加和劇烈，所以，為了減少前處理的參變量，主要以研究軸線方向上的網(wǎng)格劃分為主即可。臺(tái)肩在受到標(biāo)準(zhǔn)扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)的應(yīng)力分布：

? ? ? ?其實(shí)大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，圓軸受到扭轉(zhuǎn)載荷的應(yīng)力分布比拉伸載荷要更加有規(guī)律性，同樣是軸對(duì)稱規(guī)律，并且軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力理論上規(guī)律性會(huì)更加接近線性，同樣提取結(jié)構(gòu)的應(yīng)力在繞軸向和徑向的分布特點(diǎn)：

? ? ? ?和預(yù)估的一樣，受到扭矩作用時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變化趨勢(shì)相對(duì)更加緩和，也就是說(shuō)對(duì)于臺(tái)肩模型，如果能夠達(dá)到拉伸載荷局部應(yīng)力捕捉要求應(yīng)該也是能夠滿足扭轉(zhuǎn)載荷的需求。臺(tái)肩在受到彎曲為主載荷時(shí)的應(yīng)力分布：

? ? ? ?相比于其它兩種工況，受到彎曲載荷時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布已經(jīng)不具備軸對(duì)稱性質(zhì)，應(yīng)力分布呈現(xiàn)"斑狀"，而且預(yù)計(jì)扭轉(zhuǎn)時(shí)候應(yīng)力的非線性變化程度應(yīng)該是最大的，提取結(jié)構(gòu)的應(yīng)力在繞軸向，徑向以及周向的分布特點(diǎn)：

? ? ? ? 可以看到，三個(gè)方向的應(yīng)力變化中非線性程度：軸向＞徑向＞周向，并且軸向和深度方向上的應(yīng)力變化趨勢(shì)以及劇烈程度和受到拉伸載荷比較接近。

? ? ? ?現(xiàn)在，我們將三種受力狀態(tài)下的應(yīng)力分布進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于圓角特征的局部應(yīng)力，變化最為劇烈的為沿著圓角方向（軸向），其次為下覆深度方向（徑向），最后為環(huán)繞圓角方向（周向）。其中繞圓角周向就算按照彎曲應(yīng)力工況去看，其非線性程度并不大，只要能夠合理的離散幾何特征即可。
? ? ? ?雖然實(shí)際結(jié)構(gòu)受力是綜合受力狀況，但是我們已經(jīng)將典型非線性變化趨勢(shì)提取出來(lái)了，因此只需要著重研究圓角方向網(wǎng)格劃分，并以深度方向網(wǎng)格劃分為輔即可。

? ? ? ?這樣我們的分析規(guī)劃如下：

? ? ? ?選取圓軸受到拉伸載荷為典型對(duì)比工況（具有代表性），分別使用1~n層不同類型網(wǎng)格進(jìn)行對(duì)比，著重得到沿圓角變化方向網(wǎng)格劃分層數(shù)規(guī)律，并且留意下覆深度方向?qū)Y(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響。

04?深度方向影響

? ? ? ?本文并不去詳細(xì)對(duì)比深度方向網(wǎng)格的規(guī)律性變化，主要有幾點(diǎn)原因：
? ? ? ?①深度方向在結(jié)構(gòu)內(nèi)部不便于控制，就算得到了規(guī)律也很難在工程應(yīng)用中使用。

? ? ? ?②深度方向應(yīng)力的變化劇烈程度不繞圓角變化方向，只要我們找到圓角方向的網(wǎng)格規(guī)律，按照正常的網(wǎng)格過(guò)渡也是完全可以滿足深度方向要求。

? ? ? ?但是，并不是說(shuō)深度方向不重要，為了強(qiáng)調(diào)這個(gè)問(wèn)題，這里對(duì)比兩組模型：

? ? ? ?這兩組有限元模型除了在局部深度方向上網(wǎng)格密度不同，其余網(wǎng)格劃分規(guī)律，數(shù)量以及工況載荷都完全一致，現(xiàn)在提取整體的應(yīng)力熱點(diǎn)以及深度方向應(yīng)力變化趨勢(shì)：

? ? ? ?大家可以看到，對(duì)于深度方向沒(méi)有加密的模型，局部應(yīng)力熱點(diǎn)值為1.634MPa，而深度方向加密了的模型，局部應(yīng)力熱點(diǎn)值為1.869MPa，計(jì)算下來(lái)，如果不進(jìn)行加密應(yīng)力峰值偏小12.6%。

? ? ? ?如果仔細(xì)對(duì)比深度方向的變化趨勢(shì)可以看到，沒(méi)有加密的模型完全沒(méi)有捕捉到局部的應(yīng)力變化，并且這種不精確的捕捉以及會(huì)影響到最大應(yīng)力的數(shù)值，因此我們更應(yīng)該注意：網(wǎng)格局部加密過(guò)渡一定要緩！

05?圓角方向影響

? ? ? ?現(xiàn)在我們進(jìn)入到文章的核心部分：圓角部分劃分多少層網(wǎng)格合適？為了便于對(duì)比，六面體網(wǎng)格和四面體網(wǎng)格劃分需要采取不同的策略：

? ? ? ?這里不管是六面體還是四面體網(wǎng)格，變量均為圓角方向網(wǎng)格層數(shù)，對(duì)比模型五組：1，2，4，8，12層網(wǎng)格，對(duì)應(yīng)夾角為：180°，45°，22.5°，11.25°，7.5°，層數(shù)和度數(shù)轉(zhuǎn)換示意如下：

? ? ? ?按照這樣的規(guī)律，對(duì)于不同單元類型以及劃分層數(shù)可以得到以下結(jié)果：

低階六面體：

低階四面體：

高階四面體：

? ? ? ?【說(shuō)明：這里由于部分原因不對(duì)高階六面體進(jìn)行分析，不過(guò)由于高階六面體精度＞高階四面體，因此高階四面體得到的結(jié)果同樣適用于高階六面體】
? ? ? ?將上述計(jì)算結(jié)果列表繪制成曲線如下：

? ? ? ?根據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù)可以得到，對(duì)于圓角特征，如果按照5%精度為可接受精度，那么低階六面體至少劃分12層（7.5°），低階四面體至少劃分.....（不做解釋），高階四面體至少劃分4層（22.5°）。

06?估測(cè)方法

? ? ? ?雖然通過(guò)大量數(shù)據(jù)對(duì)比能夠直接得到一些指導(dǎo)網(wǎng)格劃分的參數(shù)，但是會(huì)遇到兩個(gè)問(wèn)題：

? ? ? ?①每一種不同特征的劃分參數(shù)都需要對(duì)大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和對(duì)比才能得到滿意的結(jié)果，這在工程上其實(shí)并不實(shí)用。

? ? ? ?②實(shí)際模型要復(fù)雜得多，有些時(shí)候很難通過(guò)特征去得到一些規(guī)律性可以借鑒的結(jié)果。因此，個(gè)人這里推薦兩種相對(duì)更加普適的估測(cè)方法，這些方法的根源都來(lái)源于后處理部分。

方法一：應(yīng)力分布法

? ? ? ?在前面的對(duì)比中大家不難發(fā)現(xiàn)，合理的應(yīng)力結(jié)果意味著熱點(diǎn)周邊應(yīng)力的非線性分布趨勢(shì)也更加光滑，比如提取高階四面體在網(wǎng)格層數(shù)為4層，8層和12層時(shí)候的圓向應(yīng)力變化結(jié)果：

? ? ? ?大家明顯可以看到當(dāng)層數(shù)為4層時(shí)，峰值應(yīng)力曲線明顯非常的粗糙，到8層的時(shí)候才略微有所改善（實(shí)際8層精度也可以接受），到12層的時(shí)候已經(jīng)比較光順。因此，這里說(shuō)的應(yīng)力分布法的基本思想是：當(dāng)熱點(diǎn)應(yīng)力周圍的應(yīng)力分布趨勢(shì)足夠光滑，那么理論上熱點(diǎn)應(yīng)力精度也較高（前提深度方向網(wǎng)格足夠）。

方法二：熱點(diǎn)覆蓋法

? ? ? ?當(dāng)然大家會(huì)發(fā)現(xiàn)應(yīng)力分布法還是有些麻煩的，而且怎么樣算光滑不同人的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)并不一致，因此有了下面這種方法：熱點(diǎn)部分（紅色區(qū)域）至少覆蓋xx層網(wǎng)格。

? ? ? ?這種方法第一次聽(tīng)說(shuō)是在教主（張曄）的ansys workbench視頻中，這套視頻我是非常建議分析/結(jié)構(gòu)工程師好好學(xué)習(xí)一番，大家可以在機(jī)械人讀書筆記公眾號(hào)中免費(fèi)學(xué)習(xí)。

? ? ? ?這里我就這種方法再細(xì)致的和大家解釋一下：

? ? ? ?我們知道應(yīng)力集中局部的應(yīng)力變化是非線性的，而有限元要捕捉到這樣的非線性變化需要?jiǎng)澐肿銐虻木W(wǎng)格數(shù)量，那么就要求局部的應(yīng)力梯度變化不能太劇烈。

? ? ? ?大家想一想，熱點(diǎn)（紅色）區(qū)域代表什么？實(shí)際代表1/n的全局應(yīng)力，比如通常云圖條默認(rèn)是10份，如果最大應(yīng)力100MPa，那就意味著90~100MPa的結(jié)果都是紅色的，從局部來(lái)看這就是限制應(yīng)力的梯度變化。

? ? ? ?那么在1/10的梯度變化內(nèi)，使用2~3層線性/二次單元去擬合，一般情況下是完全足夠的，或者說(shuō)至少精度不會(huì)太差。比如下面是12層低階六面體和4層高階四面體的結(jié)果云圖：

? ? ? ? 可以看到，使用低階六面體熱點(diǎn)區(qū)域至少要覆蓋3層，使用高階單元熱點(diǎn)區(qū)域完美覆蓋1層單元足以。

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