這篇文章接著上期講高斯定理例題與環(huán)路定理。這里是上篇文章傳送門(mén)，講的是電荷連續(xù)分布與高斯定理。靜電場(chǎng)（二）

用高斯定理算場(chǎng)強(qiáng)要選取合適的高斯面并運(yùn)用對(duì)稱性分析。下面列舉三道經(jīng)典例題感受一下。

第一題是關(guān)于球?qū)ΨQ電場(chǎng)：已知一個(gè)帶電均勻的薄球殼，帶正電，電量為Q，半徑為R。求該球殼產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布

既然電荷均勻分布，具有旋轉(zhuǎn)不變性，那么場(chǎng)強(qiáng)分布也應(yīng)有旋轉(zhuǎn)不變性。在球坐標(biāo)下分析：

旋轉(zhuǎn)時(shí)只有Er是不變的，即只有Er存在，電場(chǎng)是沿徑向分布的球?qū)ΨQ電場(chǎng)。我們?nèi)∫郧驓で蛐臑榍蛐牡那蛎孀鞲咚姑?，那么?jì)算電通量時(shí)點(diǎn)乘的θ角為0。

可以看到，均勻帶電球殼內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)為0，且在其表面處場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)值有一個(gè)躍變。

為什么不寫(xiě)r=R處場(chǎng)強(qiáng)呢？因?yàn)檫@不能通過(guò)高斯定理解決，點(diǎn)電荷分布在高斯面上是沒(méi)有意義的。這一層只能用場(chǎng)強(qiáng)疊加硬算，解決起來(lái)稍困難些。這里就提供一個(gè)網(wǎng)址，這篇文章就是探討帶電球殼表面場(chǎng)強(qiáng)的。https://wenku.baidu.com/view/4c3681f1ae51f01dc281e53a580216fc700a5329.html?_wkts_=1674720952635&bdQuery=%E5%B8%A6%E7%94%B5%E7%90%83%E5%A3%B3%E5%9C%BA%E5%BC%BA%E5%88%86%E5%B8%83

我們可以把球殼塞滿變成球。同樣的條件求場(chǎng)強(qiáng)分布。

提示：如果r＜R，則把球看作兩部分，一是半徑為r的球，第二就是帶電球挖掉第一部分。第二部分對(duì)該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)無(wú)貢獻(xiàn)。答案應(yīng)該挺容易算了吧。

讀者也可以自己出練習(xí)題自己做，比如兩個(gè)同心帶電球殼，兩個(gè)有重合部分的球殼，把球體挖掉一塊等等等等。

第二題是軸對(duì)稱的電場(chǎng)：求線電荷分布均勻的無(wú)限長(zhǎng)帶正電細(xì)棒場(chǎng)強(qiáng)分布，線電荷密度為λ。

同樣看三個(gè)方向的場(chǎng)強(qiáng)利用對(duì)稱性分析考察哪些方向的場(chǎng)強(qiáng)不能存在。其實(shí)通過(guò)前面做過(guò)的題與我們的猜測(cè)，應(yīng)該還是只有E1存在的。利用鏡像反射對(duì)稱性可得出。

由對(duì)稱性易得，距離該棒等距離遠(yuǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小是相等的，方向與棒垂直向外。既如此，我們可以取一段研究

第三題是無(wú)限大帶電平面的電場(chǎng)：求一個(gè)無(wú)限大均勻帶正電平面的場(chǎng)強(qiáng)分布，設(shè)面密度電荷為σ。

老手藝，還是對(duì)稱性分析。

還是用鏡像對(duì)稱可得只有E1存在，同時(shí)又有平移不變性，距離平面等距離的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等。順帶一說(shuō)，若兩點(diǎn)分居平面兩側(cè)，則方向相反，垂直于平面

既然有平移不變性那還是可以取一塊分析

這個(gè)結(jié)果表明場(chǎng)強(qiáng)大小與場(chǎng)點(diǎn)與無(wú)限大帶電平面的距離無(wú)關(guān)。

這一結(jié)果同樣是重要的，后面平行板電容器等等也會(huì)再次用到。

讀者不妨自己練練，比如給3個(gè)無(wú)限大帶電平面，電荷正負(fù)自己定，算算場(chǎng)強(qiáng)（夠簡(jiǎn)單吧，無(wú)腦秒殺）。自己出習(xí)題做我已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了很多遍，這是一個(gè)很好的學(xué)習(xí)方法。

三個(gè)經(jīng)典例題就講完了，三道題代表三種類型的電荷分布，方法是大同小異的，完全吃透了就可以挑戰(zhàn)更難的題。目前的方法在對(duì)稱性加持下能解的場(chǎng)強(qiáng)分布就幾種，要能找到好算的通量，找到合適的高斯面。如果沒(méi)有對(duì)稱性那么可能就有二重甚至三重積分，數(shù)學(xué)上的復(fù)雜程度會(huì)大大增加，沒(méi)學(xué)數(shù)分的我們不會(huì)。

以上三個(gè)題的結(jié)果通常也會(huì)當(dāng)作小結(jié)論使用。

下面就要講環(huán)路定理了。環(huán)路定理的內(nèi)容是：靜電場(chǎng)力沿任一閉合回路做功為0。說(shuō)到做功，我們先討論電場(chǎng)力是否為保守力。如果一個(gè)力做功與路徑無(wú)關(guān)，那這個(gè)力就叫做保守力，反之為非保守力。比如重力為保守力，摩擦力為非保守力。

單個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)為有心力場(chǎng)，就是說(shuō)在該電場(chǎng)里任一點(diǎn)所受的力的方向都是沿著該點(diǎn)與點(diǎn)電荷（即一個(gè)“中心”）聯(lián)線的。事實(shí)上，任何有心力場(chǎng)做功都與路徑無(wú)關(guān)。這里針對(duì)庫(kù)侖力證明一遍：

事實(shí)上，環(huán)路定理的表述與之是等價(jià)的。

這里提到了環(huán)量。用類似研究通量的方法也可以研究環(huán)量，請(qǐng)讀者自行探索。這里說(shuō)一下環(huán)量與流速場(chǎng)中渦旋的關(guān)系。若環(huán)量大于0，則有與環(huán)路繞行方向相同的渦線穿過(guò)環(huán)路，小于0則表示有與環(huán)路繞行方向相反的渦線穿過(guò)環(huán)路。等于0則無(wú)渦旋或是渦線抵消了，可以取更小的環(huán)路繼續(xù)研究。

高斯定理與環(huán)路定理分別反映靜電場(chǎng)的2個(gè)性質(zhì)：有源（或匯），無(wú)旋。也要注意，推導(dǎo)高斯定理需要用電力平方反比律，而推導(dǎo)環(huán)路定理并不需要。

三連喲