袋鼠（Unknown Cover/Kangaroo），原稱為代數(shù)法，指的是假設(shè)某個(gè)單元格填入的未知數(shù)來獲取一定填數(shù)邏輯的技巧。袋鼠和代數(shù)諧音，所以也稱為袋鼠。但由于Algebra（代數(shù)）一詞跟這里的代數(shù)的使用不太相似，所以沒有啟用這個(gè)名稱，所以本文檔采用諧音叫法，即袋鼠。

不過，袋鼠這種技巧更像是一種解題視角，因?yàn)樽鲱}過程之中我們會(huì)通過這種獨(dú)特的視角看到我們平時(shí)完全看不到的東西。

Part 1?先來看看一般化的版本

1-1?輔助數(shù)類型

如圖所示，我們優(yōu)先假設(shè)r5c5 = a，然后分別假設(shè)r1c5和r3c5為x和y，就可以發(fā)現(xiàn)，x不包含候選數(shù)9，而對(duì)應(yīng)地，a和y里必須有一個(gè)數(shù)字是9。所以，r3c8不含數(shù)字9，而且r3缺少的數(shù)字和c5缺少的數(shù)字完全一樣，這就說明了r3c3只能是含有數(shù)字9的a，而r3c8只能是沒有9的x。我們得到了r3c3 = r5c5 = a之后，可以進(jìn)一步使用c1的排除，得到r9c1 = a。

接著，我們得到r9c1是a后，我們繼續(xù)對(duì)b8執(zhí)行假設(shè)。假設(shè)r9c6 = b，則根據(jù)b7的宮排除，得到r78c2里必須要有一個(gè)b，就相當(dāng)于形成了一個(gè)以未知數(shù)形式呈現(xiàn)的區(qū)塊結(jié)構(gòu)。

由于r2c2只有2、8、9，而既然r2c2不能是a，也不能是b，那我們只好假設(shè)r2c2填的是c。此時(shí)我們就確定了a、b、c是2、8、9的數(shù)字，互不相同，這樣一來也順便得到了r2c1 = b、r5c1 = c。

接著我們觀察r5，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，b只能放在r5c9，而r5一共有2、4、8、9四種數(shù)字沒填，其中a、b、c也都已經(jīng)被我們填入到盤面里，所以只能r5c6 = 4。

可以看到，這個(gè)示例里，我們借助了功能不大的輔助數(shù)，來得到r9c1 = a的結(jié)果后，繼續(xù)向下推導(dǎo)，并得到最終的結(jié)果。

這就叫做袋鼠，利用假設(shè)未知數(shù)的形式來代入試填，并得到結(jié)論的方式。這個(gè)例子還能繼續(xù)往下通過袋鼠標(biāo)注全盤，進(jìn)而得到a、b、c的具體數(shù)值結(jié)果，這里就不講了，你可以嘗試?yán)^續(xù)做下去。在完成后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這里輔助的x和y也是有用處的，只是此處得到結(jié)論后我們沒有繼續(xù)往下做了，所以看起來沒有什么用途。

接著我們來看第二種用法。

1-2?數(shù)組類型

如圖所示，假設(shè)r2c2 = a（a是3、9之一），則顯然r2c56里只能是6和9，鑒于例子用不上6作為假設(shè)，我們就不假設(shè)為未知數(shù)了，那么r2c56只能填入6或9。于是r1c4 = a、r7c4 = b。

接著，我們以r2c2 = a向下推理。由于排除操作，我們最終確定a只能放在b7里的r9c13里。接著使用排除，得到b8此時(shí)只能把a(bǔ)放在r7c5里（r7c4是上一輪推導(dǎo)得到的b，顯然a和b不能填入一樣的數(shù)字）。

那么觀察b8，已經(jīng)出現(xiàn)a和b了，而a和b又是3和9，所以r7c45是3、9的數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)，故只有r9c6 = 6了。

這一則示例也是比較精彩的，它破解了一些需要鏈的棘手情況。

1-3 確定值類型

如圖所示，假設(shè)r1c2 = a，并假設(shè)r7c2 = b、c9c2 = c（此時(shí)a、b、c是1、4、7，且互不相同）。于是，我們根據(jù)排除可以得到b7里a的位置在r8c3；同理，r2上填a的位置也可以確定，在r2c6。接著，由于a是1和7的其一（不能是4），而r9恰好缺少1、4、7，且此時(shí)已經(jīng)r9c2 = c了，那么只能把可以是4的b放在r9c9，所以r9c5 = a。而且，由于r7c2 = b、r9c5 = a，所以它們的交集r7c6就只可以是c了，且r8c4 = b。

接著，觀察b2。由于r8c4(b)對(duì)b2的排除，就會(huì)發(fā)現(xiàn)b2里沒有位置可以填下b了。那豈不是做錯(cuò)了？沒有?；叵胍幌拢琣、b、c是1、4、7，而4還有一個(gè)確定值位于b2里，那就是r3c5。既然b放不到這些空格上，那么這個(gè)4就必須是b的數(shù)值結(jié)果了，也就是b = 4。否則b將沒有位置放，出現(xiàn)矛盾。所以，我們就確定了b = 4的結(jié)論，剛才假設(shè)的所有位置，只要是b的地方，都可以被替換為4，即r7c2 = r8c4 = r9c9 = b = 4（r9c9因?yàn)樵谕评砝镉貌簧?，所以沒有標(biāo)注）。

可以看到這一則示例用法更為靈活，它直接把填數(shù)的結(jié)果給替換成了真實(shí)的數(shù)值。

1-4?什么？直觀？

可以看到，前面的示例除了簡單枚舉一下單元格的填數(shù)情況以外，基本上就用不上候選數(shù)了，所以這個(gè)技巧基本上都用不著候選數(shù)。而實(shí)際上，這個(gè)技巧本來也就是為了直觀而生的，一般來說，這個(gè)技巧都使用直觀視角解題；當(dāng)然，有些時(shí)候可以配合候選數(shù)全標(biāo)形式來輔助數(shù)數(shù)操作。

而且可以發(fā)現(xiàn)，這些盤面存在一定的共性：只要是涉及三到四種數(shù)字在盤面里確定值比較少的，或者說候選數(shù)比較多的，我們就可以嘗試使用袋鼠，因?yàn)檫@類型的題目使用袋鼠總能得到我們想要的結(jié)果，畢竟這些數(shù)字之間的提示信息比較多，但我們?cè)趯?shí)際做題過程之中，使用的之前的技巧并沒有真正用到它們。

Part 2 常見技巧的袋鼠視角

在數(shù)獨(dú)里，有一些技巧依然可以使用袋鼠的視角進(jìn)行觀察和理解，而這種理解思維比起普通版的話，要更新穎一些。而且在上一節(jié)里，我們說到了，袋鼠一般可以用于直觀層面，所以我們下面的示例都不標(biāo)注候選數(shù)，你可以嘗試來理解和感受一下，直觀的袋鼠到底是什么樣的。

2-1?欠一數(shù)對(duì)

如圖所示。假設(shè)r9c1 = a，則通過唯余操作，得到a是{39}之一（即a是3和9的其一）。對(duì)b4進(jìn)行排除，由于r6上有3和9的確定值，所以不管a是多少，最終a只能填到r5c2。而由于a是3和9的其一，所以觀察r5可以發(fā)現(xiàn)填入2的位置只剩下r5c6，故r5c6 = 2。

如果你打開軟件的候選數(shù)開關(guān)，查看全盤的全標(biāo)候選數(shù)的話，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這就是一個(gè)完美的、正常的欠一數(shù)對(duì)。所以，它是欠一數(shù)對(duì)的袋鼠視角。

2-2?W-Wing

假設(shè)r3c6 = a，則a是2和3的其一。對(duì)b5進(jìn)行關(guān)于a的排除，我們發(fā)現(xiàn)，因?yàn)閞6上已經(jīng)有2和3的確定值，所以2和3只能填到r45c56。而因?yàn)閞3c6 = a，所以r45c5有且僅有一格是a。接著觀察到，r9c5 = {23}，而因?yàn)閞45c5 = a，所以r9c5只能填b（其中b是不同于a的、屬于{23}的另一個(gè)數(shù)）。這個(gè)時(shí)候，我們確定了r3c6和r9c5其實(shí)是一個(gè)跨區(qū)數(shù)對(duì)。所以，r7c6 <> ab，而它們是{23}，所以r7c6只能是非2和非3的另外的數(shù)，即r7c6 = 7。

全標(biāo)之后你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它就是一種特殊的W-Wing結(jié)構(gòu)（可能中間帶有區(qū)塊，但是W-Wing可以走兩個(gè)方向）。

2-3?死環(huán)

如圖所示，我們假設(shè)r9c9 = a，則a是{29}的其一。如果r9c9是a的話，就可以得到r5c9 = b、r6c8 = a（b不同于a且均是2和9其一）。而觀察b1，我們發(fā)現(xiàn)b1有確定值2和9，所以r2c3 <> a，所以觀察c3，只可能是r4c3 = a。

此時(shí)我們可以得到，r5c9和r4c3是關(guān)于2、9的跨區(qū)顯性數(shù)對(duì)。所以r5c2 <> 29；而最后觀察c3，填入1的位置只剩下一處：r2c3，所以r2c3 = 1。

2-4?遠(yuǎn)程數(shù)組

實(shí)際上，遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)由于涉及的數(shù)字很簡單，所以袋鼠依然可以運(yùn)作。而且，袋鼠可以用于多種數(shù)字，所以不只是遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)，遠(yuǎn)程三數(shù)組等等也都可以出現(xiàn)。

2-4-1?遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)

如圖所示。我們假設(shè)r7c8 = a，通過唯余操作，得到a是{28}之一，可以以此得到r2c6、r4c7、r5c4都是a；r2c8、r4c6、r5c9、r8c4都是b（b不同于a且都是{28}之一）。所以，圖中就有相當(dāng)多的跨區(qū)數(shù)對(duì)了，這里就不啰嗦有哪些了，刪掉所有紅色單元格上的2和8，然后與此同時(shí)可以得到r7c5 = 9。

2-4-2?遠(yuǎn)程三數(shù)組

如圖所示，我們先假設(shè)r4c2 = a（a是{16}其一），于是可以連續(xù)得到一些填數(shù)，此時(shí)其實(shí)已經(jīng)形成了遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)，得到r6c6 <> 16（即填2）的結(jié)果，不過這里我們還有結(jié)論，所以不著急出數(shù)。

接著，由于b8只有1、2、6三個(gè)數(shù)沒有填了，那么我們假設(shè)a、b、c是1、2、6，且互不相同?；谶@一點(diǎn)，我們顯然可以知道，r7c5是b和c的其一（圖上的“|”表示或的意思，也就是b和c的其一）；同理，我們依然可以假設(shè)c9上剩余兩格分別都是b和c的其一。

此時(shí)，繼續(xù)觀察b5和b6。由于b5可以確定a的位置形成了區(qū)塊，所以b6也可以形成a的區(qū)塊結(jié)構(gòu)；同樣，b3也有a的區(qū)塊，此時(shí)它們構(gòu)成復(fù)合區(qū)塊結(jié)構(gòu)，所以r1c5 <> a，故也只能填入b和c的其一。此時(shí)觀察c5，可以發(fā)現(xiàn)有兩處單元格都是b和c的其一，而由于兩個(gè)單元格同列，所以它們構(gòu)成數(shù)對(duì)。

此時(shí)并沒有結(jié)束。由于r4c1 = a的關(guān)系，三個(gè)單元格的交集r4c5是這個(gè)跨區(qū)三數(shù)組的交集（把a(bǔ)也算在結(jié)構(gòu)內(nèi)，就是三個(gè)單元格填a、b、c三種數(shù)字了，所以可以看作跨區(qū)的三數(shù)組），所以r4c5 <> abc，于是這一個(gè)單元格就出數(shù)了。于是題目瓦解。

可以看到，這一種利用方式也是非常神奇的，除了遠(yuǎn)程數(shù)對(duì)的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)以外，還有現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的“疊加影響”形成的遠(yuǎn)程三數(shù)組（Remote Triple）結(jié)構(gòu)。

2-5?唯一矩形

這個(gè)示例比較麻煩一些，們依然使用候選數(shù)視角給大家標(biāo)注，方便對(duì)比。

如圖所示，我們假定r4c1 = a（顯然，a是7和9的其一），同樣我們?cè)O(shè)定字母b和c屬于{179}之一，并假設(shè)它們互不相同（此時(shí)一定要注意，因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)互不相同，而a不包含數(shù)字1，所以在b和c里，一定有一個(gè)數(shù)字是1）。那么，因?yàn)閞4c1是a的關(guān)系，r4c29和r6c2都只剩下1和{79}之一；換句話說，它們的填數(shù)實(shí)際上就是b或c的其一。

顯然，我們通過剛才的假設(shè)，因?yàn)榇藭r(shí)的b和c可以認(rèn)為是等價(jià)的兩個(gè)變量的表示符號(hào)，所以隨便假設(shè)r4c2是b還是c都行。那么我們假設(shè)為b繼續(xù)推導(dǎo)。

由于r4c2是b，所以r4c9只能是c（字母a和b在這一行已經(jīng)用過了，這三個(gè)字母代表的是三種完全不同的數(shù)字，所以只能是c了）。同理r6c2也只能是c了。我們此時(shí)著眼于r46c29四個(gè)單元格上。顯然，如果r6c9是b了，即使字母代表的數(shù)字可變，但當(dāng)前狀態(tài)下，r46c29構(gòu)成了關(guān)于b和c的唯一矩形，形成了致命形式，所以r46c29此時(shí)應(yīng)當(dāng)刪除數(shù)字b?？墒莃是多少呢？這一點(diǎn)我們可不知道。不過，我們可以通過假設(shè)的字母所給出的范圍來間接確定刪除的數(shù)字可以是哪個(gè)。

因?yàn)閎和c在此時(shí)的假設(shè)下是等效的，所以這個(gè)唯一矩形的構(gòu)型構(gòu)成了關(guān)于b和c的致命形式（因?yàn)閎和c不相同，顯然它們形成了致命形式）。那么此時(shí)刪除的數(shù)字就變?yōu)閏了。所以確實(shí)確定不了嗎？還沒完呢。別忘了最開始的假設(shè)，我們認(rèn)為的b和c里一定有一個(gè)數(shù)字是1，這也就意味著我們剛才所有可能成立的兩種假設(shè)下，暗含了一點(diǎn)：r6c9不應(yīng)該是1。因?yàn)閞6c9一定只能填入的是b和c，僅此兩種情況；而它倆一定有一個(gè)數(shù)字是1，所以1是我們一定可以確定可以被刪除掉的數(shù)字。所以，r6c9 <> 1，這就是這個(gè)題目的結(jié)論（刪數(shù)如前一個(gè)圖所示）。

我們?cè)賮砜匆粍t示例。

如圖所示，如果我們嘗試假設(shè)r6c1 = 3，則由于b6的3的候選數(shù)分布情況，可以得到r5c5 = 3。此時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)r5c4只有候選數(shù)1和9，不論我們假設(shè)它填入什么數(shù)，最終r5c1和r6c5都會(huì)得到與之對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)數(shù)。如圖所示，我們通過代數(shù)法，可以輕松得到r56c15形成關(guān)于3和b的致命形式。所以假設(shè)的候選數(shù)r6c1(3)應(yīng)當(dāng)被刪除。

當(dāng)然，還有很多結(jié)構(gòu)都可以采用袋鼠的視角進(jìn)行觀察和推導(dǎo)，不過這里就不再一一列舉了。

至此，本篇章的內(nèi)容就結(jié)束了，下一個(gè)篇章將是本文檔里最難的一部分內(nèi)容。