（一）：首先讓我們看一道證明題：

已知p是任意質(zhì)數(shù)，證明p2+26不是質(zhì)數(shù)。

證明：因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，所以p是2或者奇數(shù)。（因?yàn)槌?以外的其余正偶數(shù)必定會(huì)被2整除）

當(dāng)p為2時(shí)，p2+26=30，能被2整除，不是質(zhì)數(shù)。

當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，p的個(gè)位數(shù)為1,3,5,7或者9。

所以p2的個(gè)位數(shù)為1,5,9。（個(gè)位數(shù)為1或9的數(shù)，其平方的個(gè)位數(shù)為1，個(gè)位數(shù)為5的數(shù)，其平方的個(gè)位數(shù)為5，個(gè)位數(shù)為3或7的數(shù)，其平方的個(gè)位數(shù)為9）

當(dāng)p2的個(gè)位數(shù)為5時(shí)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，所以p只能為5，而p2+26=51=3×17，所以不是質(zhì)數(shù)。

當(dāng)p2的個(gè)位數(shù)為9時(shí)，p2+26的個(gè)位數(shù)為5，所以能被5整除，不是質(zhì)數(shù)。

當(dāng)p2的個(gè)位數(shù)為1時(shí)，原式可變?yōu)椋╬-1）（p＋1）＋27，因?yàn)椋╬-1），p，（p＋1）必定有一個(gè)是3的倍數(shù)，所以當(dāng)p不為3時(shí)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，所以p不能被3整除，則（p-1）（p+1）是3的倍數(shù)。所以p2+26能被3整除，不是質(zhì)數(shù)。

當(dāng)p為3時(shí)，p2+26=35=5×7，不是質(zhì)數(shù)。

綜上得，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時(shí)，p2+26不是質(zhì)數(shù)。得證。

（二）：那么讓我們進(jìn)一步思考，當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時(shí)，若想p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，那么參數(shù)k該滿足什么條件？

根據(jù)上述證明可得，原式可寫為（p-1）（p＋1）+（k+1）。由于p為質(zhì)數(shù)，則p為2或者奇數(shù)。因此p2為4或者奇數(shù)。當(dāng)參數(shù)k為奇數(shù)時(shí)，只需要滿足4＋k不為質(zhì)數(shù)即可得p2+k不為質(zhì)數(shù)（因?yàn)楫?dāng)p2為奇數(shù)時(shí)，p2+k為偶數(shù)，能被2整除）

此時(shí)滿足條件的參數(shù)k的值有5,11,17,21,23等，也就是每一個(gè)奇數(shù)合數(shù)-4得到的值都是符合條件的參數(shù)k的值。（而當(dāng)k=6n-1（n∈N+）的時(shí)候或者k的個(gè)位數(shù)是1的時(shí)候是一定滿足條件的）

那么當(dāng)參數(shù)k為偶數(shù)時(shí)，符合條件的k有什么要求呢？

因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，所以p除了3以外的值都不能被3整除。因?yàn)樵娇蓪憺椋╬-1）（p＋1）+（k+1），而p不取3時(shí)，（p-1）（p＋1）必為3的倍數(shù)，因此當(dāng)k+1是3的倍數(shù)時(shí)且當(dāng)p不為3時(shí)，p2+k一定能被3整除。又因?yàn)閗是偶數(shù)，所以滿足條件的參數(shù)k只需滿足9+k不是質(zhì)數(shù)且k=6n+2（n∈N+）即可。而上述的k=26的情況下n=4，且9+k=35是合數(shù)。

因此又能找出一組k的參數(shù)值26,56,68,86,110,116,146，152,176等，從上可得當(dāng)k=30n-4（n∈N+）或k=42n-16（n∈N+）時(shí)參數(shù)k是一定滿足條件的。當(dāng)然許多其他偶數(shù)也可能滿足要求。

（三）：那么讓我們進(jìn)一步思考，當(dāng)p為任意正整數(shù)時(shí)，若想p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，那么參數(shù)k該滿足什么條件，能否找到這樣的參數(shù)？

由于p從質(zhì)數(shù)擴(kuò)大到了任意正整數(shù)，則p2的個(gè)位數(shù)取值可以為1,4,5,6,9,0。因?yàn)樵娇蓪憺椋╬-1）（p＋1）+（k+1），所以當(dāng)（k+1）能被3整除時(shí)，如果p不能被3整除，那么p2+k能被3整除，不為質(zhì)數(shù)。當(dāng)p能被3整除時(shí)，再分情況討論：

（1）參數(shù)k為偶數(shù)且p能被3整除，但是是奇數(shù)；則p不能被6整除，p=6n+3（n∈N），原式等于36n2+36n+9+k（n∈N）。由于k為偶數(shù)，所以（9+k）為奇數(shù)，且9+k除以3商為奇數(shù)，余2。因?yàn)?6的所有約數(shù)為1,2,3,4,6,9,12,18,36，而（9+k）不能被以上除1以外的任意數(shù)整除。若36n2+36n+9+k（n∈N）為合數(shù)，則其可以因式分解為（a?n+b?）（a?n+b?）。該因式滿足要求a?a?=36，a?b?+a?b?=36，b?b?=9+k（a?，b?，a?，b?均為非0整數(shù)）。所以同時(shí)滿足上述不定方程組和k=6n+2（n∈N+）的所有正整數(shù)參數(shù)k都能滿足要求。根據(jù)a?a?=36，a?b?+a?b?=36得b?/a?+b?/a?=1，根據(jù)b?b?=9+k（正整數(shù)，奇數(shù)）可得b?，b?一定都是正整數(shù)，且b?，b?均為奇數(shù)。因?yàn)閍?a?=36是偶數(shù)，所以a?，a?一定有至少一個(gè)偶數(shù)。因?yàn)閎?，b?都是奇數(shù)，所以b?/a?，b?/a?一定都是分?jǐn)?shù)且和為正整數(shù)。進(jìn)一步可以推得a?，a?都是偶數(shù)。因此只有兩種情況：a?，a?均為6或者a?，a?分別為2或18。當(dāng)a?，a?均為6時(shí)，原式可寫為（b?+b?）=6，因此b?b?=-b?2+6b?=-（b?-3）2+9的最大值為9，而9+k很顯然大于9，矛盾。當(dāng)a?，a?分別為2或18時(shí)，假設(shè)a?為2而a?為18，原式可寫為（9b?+b?）=18，所以b?b?=b?（18-9b?）=-9（b?-1）2+9，最大值同樣為9，而9+k很顯然大于9，矛盾。同理亦可以推得a?為18而a?為2時(shí)，b?b?=b?（18-9b?）=-9（b?-1）2+9，矛盾。所以無法找到這樣的正整數(shù)參數(shù)k。

（2）參數(shù)k為奇數(shù)且p能被6整除；p=6n（n∈N+），原式可變?yōu)?6n2+k（n∈N+）。因?yàn)?6的所有約數(shù)為1,2,3,4,6,9,12,18,36，而k（不是3的倍數(shù)）不能被以上除1以外的任意數(shù)整除。若36n2+k（n∈N+）為合數(shù)，則其可以因式分解為（a?n+b?）（a?n+b?）。該因式滿足要求a?a?=36，a?b?+a?b?=0，b?b?=k（a?，b?，a?，b?均為非0整數(shù)）。所以同時(shí)滿足上述不定方程組和k=6n-1（n∈N+）的所有正整數(shù)參數(shù)k都能滿足要求。根據(jù)a?a?=36，a?b?+a?b?=0可得b?/a?+b?/a?=0,可得b?b?一定是一個(gè)負(fù)數(shù)，而這與k為正整數(shù)的已知條件矛盾，所以無法找到這樣的正整數(shù)參數(shù)k。

綜上可得，當(dāng)（k+1）能被3整除時(shí)，無法找到對(duì)應(yīng)的正整數(shù)參數(shù)k使得p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)。

當(dāng)k能被3整除時(shí)，若想證明無法找到正整數(shù)參數(shù)k使得p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，只需找到一種特殊情況即可。當(dāng)p=3n+1（n∈N）時(shí)，原式等于9n2+6n+1+k（n∈N），若p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，原式可寫為（a?n+b?）（a?n+b?），其中a?a?=9，a?b?+a?b?=6，b?b?=1+k（a?，b?，a?，b?均為非0整數(shù)）當(dāng)a?，a?均為3時(shí)，（b?+b?）=2，所以b?b?=-（b?-1）2+1的最大值為1，而1+k顯然大于1，矛盾。當(dāng)a?為1而a?為9時(shí)，（9b?+b?）=6，

所以b?b?=-（3b?-1）2+1，最大值同樣為1，而1+k顯然大于1，矛盾。綜上可得，當(dāng)k能被3整除時(shí)，無法找到對(duì)應(yīng)的正整數(shù)參數(shù)k使得p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)。

當(dāng)k+2能被3整除時(shí)，若想證明無法找到正整數(shù)參數(shù)k使得p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，只需找到一種特殊情況即可。當(dāng)p=3n（n∈N+）時(shí)，原式等于9n2+k（n∈N+），若p2+k（k∈N+）不為質(zhì)數(shù)，原式可寫為（a?n+b?）（a?n+b?），其中a?a?=9，a?b?+a?b?=0，b?b?=k（a?，b?，a?，b?均為非0整數(shù)）。根據(jù)a?a?=9，a?b?+a?b?=0可得b?/a?+b?/a?=0,可得b?b?一定是一個(gè)負(fù)數(shù)，而這與k為正整數(shù)的已知條件矛盾，所以無法找到這樣的正整數(shù)參數(shù)k。

因?yàn)閗，k+1，k+2一定有一個(gè)能被3整除，所以上述情況涵蓋了所有參數(shù)k的可能取值。

綜上所述，當(dāng)p為任意正整數(shù)時(shí)，不存在一個(gè)正整數(shù)參數(shù)k，使得p2+k不為質(zhì)數(shù)。