? 次序統(tǒng)計量分布的部分定理推導

此文是結合書本與所學個人理解，謹慎參考，如有謬誤感謝指導。

X1,X2,...Xn是來自總體X的樣本，X(k)即為該樣本中的第k個次序統(tǒng)計量。

獲得樣本觀測值x1,x2,...,xn后從小到大排序即可得到有序樣本。

觀察直觀的圖表，并通過一系列計算。

由以上圖表可見樣本與次序統(tǒng)計量是完全不相同的。

再觀察某個次序統(tǒng)計量的分布和任意兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布

由以上可以理解，來自總體X的樣本X1,X2,...,Xn中的各個分量都是獨立同分布的，而次序統(tǒng)計量X(1),X(2),...,X(n)中各個分量，既不獨立也不同分布。

定理1:總體X的密度函數(shù)為p(x),分布函數(shù)為F(x),取樣本量為n樣本(X1,X2,...,Xn),則起第k個次序統(tǒng)計量X(k)的密度函數(shù)為:

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下面是推導過程:

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第k個次序統(tǒng)計量的概率，可以看做三個事件的概率P(ABC)

對任意實數(shù)x:??,（古典概型分組: 有n個分量，先選出k-1個再從n-k-1選1個，最后剩下n-k個分量里選出n-k個分量。)

1. 有k-1個分量落在區(qū)間<=x的事件的概率，由古典概型，已知有n個分量，選出含k-1個分量的組合，有種分法，且分量小于等于x的概率為

? ?P(A）=?

(k-1個分量中每個分量<x的概率均為F(x)，所以F(x)會有k-1次冪，最后因為從n個分量里選出k-1個分量進行組合有種組合法，每種組合至少發(fā)生一種,所以最后得出此概率公式即是 ）注:以下方法皆以此理解得出。

2.X(k)落在(x , x+deltax]區(qū)間事件的概率

再由古典概型的，該種組合有種分法。

3.最后剩下n-k個分量落在的區(qū)間里，有種分法，對應概率

最后三事件概率相乘整理得:

最后由兩邊同時除以，并令,由導數(shù)定義可得第k個次序統(tǒng)計量X(k)的密度函數(shù):

最后得證:

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