一條均勻，柔軟的繩索，受重力而自然下垂，問其形成的是是什么類型的曲線？

看上去真的像是一條拋物線，是不是？

但事實(shí)上，我們的直覺欺騙了我們，這并不是一條拋物線，只是很像而已，接下來，我們就用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)去推導(dǎo)這是一條什么樣的曲線。

1.列方程

顯然這條曲線會(huì)有一個(gè)最低點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)記作A點(diǎn)，再任取曲線上任意一點(diǎn)B，對(duì)AB這段弧進(jìn)行受力分析。

A處的拉力是沿水平方向的，B處的拉力沿B點(diǎn)處曲線的切線方向，二者受到的拉力在水平方向上互相抵消，B點(diǎn)拉力的豎直分量則與重力抵消。

設(shè)繩索的線密度為k，重力加速度為g，那么AB段繩索受到的重力就是AB段的繩長(zhǎng)乘上線密度再乘上重力加速度。以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)繩索形成的曲線函數(shù)解析式為y=f（x），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，f（x0）），那么根據(jù)曲線弧長(zhǎng)公式：，AB段繩索受到的重力就是，等于B點(diǎn)處拉力在豎直方向上的分量，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，有，其中為B點(diǎn)處拉力與水平方向所成的夾角。又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Ctan%20%5Ctheta%20%3D%5Cdot%7By%7D%20%5Cvert%20_%7Bx%3Dx_%7B0%7D%20%7D%20" alt="%5Ctan%20%5Ctheta%20%3D%5Cdot%7By%7D%20%5Cvert%20_%7Bx%3Dx_%7B0%7D%20%7D%20">，所以，那么因?yàn)閷?duì)于一條固定的繩索，Ta為定值，k，g也為定值，所以帶入并簡(jiǎn)化，得：（C=Ta/kg），因?yàn)檫@個(gè)B點(diǎn)是任取的，所以x0可以任意變化，把這個(gè)方程一般化，就可以得到，這里的積分實(shí)際上是一個(gè)變上限積分，等于，（F（x）表示f（x）的一個(gè)確定的原函數(shù)）

2.降階為一階微分方程

對(duì)方程兩邊分別求導(dǎo)，左邊求導(dǎo)的結(jié)果就是，右邊求導(dǎo)的結(jié)果為，那么記y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于p，則，就有，兩端積分，得：，令p=tanr（r角在一四象限），那么右側(cè)積分可以改寫為，又因?yàn)樵e分等于（詳細(xì)推導(dǎo)請(qǐng)看上一篇專欄——如何把點(diǎn)光源射出的光變成平行光？），那么我們就得到（D為常數(shù)）。所以，所以，就得到p=，等于。

3.積出結(jié)果

p是y的導(dǎo)函數(shù)，則有，兩端積分，得，再令等于s，則原積分改寫為，（E為常數(shù)），則（通解）

最后我們發(fā)現(xiàn)，這實(shí)際上是由一個(gè)雙曲余弦函數(shù)變化而得的。

最后求一下特解，最低點(diǎn)在原點(diǎn)處，所以D等于0，E=-C，所以特解為。