書接上回，上節(jié)中我們學習了一個標量場在彎曲時空中的量子化。并且定義了產(chǎn)生湮滅算符，由此首先可以定義真空態(tài)。通常都采用Rectangular坐標來，這些自然坐標適配到Poincare群。這使得Minkovski時空線元是不變的。具體的說，對時間t的偏導是一個Minkovski時空的Killing矢量，它是正交與類空超曲面的。并且(2.11)表示Killing矢量的本征態(tài)對應的本征值為i\omega（對于\omega大于0）。真空在Poincare來群的作用下是不變的。

在彎曲時空中，Poincaré 群不再是時空的對稱群（參見 Urbantke 1969）。事實上，一般情況下根本沒有Killing矢量來定義正頻率模式。在某些特殊的時空類別中，可能存在某些受限變換下的對稱性，例如旋轉(zhuǎn)、平移或de sitter群。在這些情況下，可能存在與Killing矢量相關的 "自然 "坐標--類似于Minkovski空間中的矩形坐標。但即使存在這樣的坐標，我們也會發(fā)現(xiàn)它們在量子場論中并不享有與Minkovski空間坐標相同的核心物理地位。事實上，廣義相對論的整個精神，即通過廣協(xié)方差原理表達的精神，就是坐標系在物理上是無關緊要的。坐標系統(tǒng)與物理無關。

因此我們可以考慮另一組解，并將場表示為：

它可以定義新的真空和Fock空間：

可以利用Bogoliubov變換實現(xiàn)對兩組解的變換：

其中\(zhòng)alpha和\beta是Bogoliubov系數(shù)，根據(jù)模式解的正交歸一性，可以得到：

并且可以將這些轉(zhuǎn)換到產(chǎn)生湮滅算符上：

并且， Bogoliubov系數(shù)有以下的屬性：

這樣可以明顯的看出這兩個Fock空間是不同的，例如：

(注意是a不能湮滅a杠所定義的真空態(tài))。計算粒子數(shù)算符（a的）在另一個真空態(tài)下的期望值：

其中i表示第i個模式。這表示這個真空態(tài)在a看來不是空的(注意測量和被測量的關系）。

簡單的總結(jié)一下就是，如果\beta=0時，這兩個模式解所對應的真空是一樣的。