? ? ? 立方倍積問題是說作一個(gè)立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。這個(gè)問題我想了很久，發(fā)現(xiàn)無法在有理數(shù)域內(nèi)通過作圖求解，于是我就轉(zhuǎn)向無理數(shù)域去尋找解決的辦法，經(jīng)過一番思考，我發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)立方體的邊長都是無理數(shù)時(shí)，就可以通過作圖法求出一個(gè)立方體，使它滿足立方倍積的條件。這兩個(gè)立方體的邊長分別是根號2和圓周率的二次方根，下面我說一下我的想法和具體操作，為了方便大家閱讀，我先給出下面這張圖。

? ? ?先作出根號2。圖中，△AOB為直角三角形，AC＝1，BC＝1，斜邊AB＝根號2。圖中所有的長度都用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即用直尺和圓規(guī)畫任意長度為單位長度，以后畫任何線段都要用圓規(guī)在單位長度上取值，并通過平行移動(dòng)等尺規(guī)作圖法來作圖。

? ? ? ?聲明一下，圖中所有畫法皆為尺規(guī)作圖，而不是靠尺子去量的。其次，所有的圖均為示意圖，我只是想表達(dá)立方倍積是如何通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)的。作圖前自己任意規(guī)定單位長度，其它長度必須是單位長度的倍數(shù)，作圖時(shí)用圓規(guī)去截取長度。圖中對任意線段的等分只有可以通過用尺規(guī)作圖法完成的二等分一種方法，八等分是指不斷重復(fù)的對指定線段二等分，直至將它八等分，余類推。

? ? ? ?直角三角形中斜邊的長度是由直角邊的比例唯一確定的。

? ? ??用同樣的方法，作出根號10。根號10也是一個(gè)直角三角形的斜邊。

? ? ?作出圓周率pi。關(guān)于圓周率pi的作法我曾經(jīng)專門寫過一篇文章發(fā)表在頭條上，文章的名稱叫《一起來畫圓為方》，有興趣的朋友可以去看看。

? ? ? 通過作圖法給出的Pi值是3.135。

這里我就不再給出pi值的作圖法了，我要說一下怎么通過作圖法求出圓周率pi的二次方根。請看下圖。

? ? ? ?圖中線段NP的長度＝Pi，這和我在《一起來畫圓為方》中求出的Pi是相等的。將線段NP八等分得到線段NA，NA的長度＝（Pi÷8），將NA反向延長至A撇點(diǎn)，取NA撇的長度＝NA。作A撇P的垂直平分線，交A撇P于B點(diǎn)。PB的長度＝A撇P的二分之一，又等于（NP＋NP÷8）÷2，PB＝1.763438。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ?? 線段PB在數(shù)值上等于Pi的二次方根，圖中給出了Pi的理論值的二次方根，用作比較。

? ? ? ?以線段PB的長度作為立方體A的邊長，作一個(gè)立方體A，同時(shí)以△AOB的斜邊AB的長度作為立方體B的邊長，作一個(gè)立方體B。立方體A就是我們要求的立方體，它的體積等于立方體B的兩倍。如下圖。

? ? ? ?立方體A的體積＝ 5.483782。

? ? ? ?立方體B的體積＝ 2.828427。

? ? ? 立方體A與立方體B的體積比為1.9388。約等于2。

? ? ??體積比的絕對誤差0.0612。 相對誤差（0.0612÷2）＝ 3.06％。