已收錄至文集《分析》

話不多說了，直接開始叭

Phragmén-Lindel?f方法

在復分析中，有這么個隨處可見的東西：

（最大模原理）設(shè)??為一有界的開集，?若??且它在??上連續(xù)，則對任意的??都有

上式取等當且僅當??是常函數(shù).

咱們用它可以實際上可以知道在??上連續(xù)的函數(shù)??，若在??總有? ，那么在整個??內(nèi)都有? .?但是，如果? 在??上至少有一個點不連續(xù)（這個點可以是無窮遠點），結(jié)論當然不再成立. 不過其實如果考慮在??上附加一些，那么結(jié)論可以保留.?首先呢，讓我們來看一個例子：設(shè) ?在整個復平面上解析，且對所有??都有

由于??在復平面內(nèi)解析，所以對??有Taylor展開

由Cauchy積分公式，可得對 n≥1?，

這也就是說它實際上是個常函數(shù).

通過這個例子，可以看出有時通過讓 f?增長速度被另一個函數(shù)限制也可以推出它的有界性，這也正是Phragmén-Lindel?f原理的思路，下面我們就來實際操作一下.

取一塊復平面上的帶型區(qū)域

令??且在其閉包??連續(xù)，假設(shè)某個常數(shù)?M?滿足?

?

下面考慮限制它在 D?內(nèi)的增長速度，通常希望限制它的函數(shù)盡可能簡單，一般所考慮的會是個冪函數(shù)或者對數(shù)函數(shù)又或者冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，不過這些函數(shù)的增速總的來說都是慢于任何指數(shù)函數(shù)的，所以這里不妨考慮對任意?δ>0?和絕對值足夠大的 s?都有

在帶型區(qū)域上考慮，我們所關(guān)心的是?s 的虛部對? 的影響，因此 s?的實部是多少并不重要.?記??來表示它的實部和虛部，由于 |τ|≥1?時

所以此時實際上有

這樣一來就可以忽略掉 s?的實部遼.?然后現(xiàn)在來理一下條件.

1. ??是帶型區(qū)域??上連續(xù)且在其內(nèi)部解析的函數(shù)；

2. ??；

3. ?.?

（定理1）存在正的常數(shù)??使得

證明：首先討論??的情況.??時，假設(shè)對常數(shù) ?有

其中??. 令??，則由??的連續(xù)性可知必有??.?

接下來令??，由條件可知對某個常數(shù) ?，滿足

任取一充分大的正實數(shù) T?，令? ，則當? 有

這說明對任意??，由 ?圍成的矩形的邊界上有??用最大模原理即可說明在其內(nèi)部也有??，令??即可知

也就是

由此令??即可；而對 τ 小于零的情況類似可證.?

可以看出該定理運用了通過將解析函數(shù)乘以另一個解析函數(shù)，由最大模原理推出在有限區(qū)域內(nèi)的上界再推廣到無界區(qū)域上的方法，這就是Phragmén-Lindel?f方法

Hadamard三圓定理

下面先給出最大模原理在帶型區(qū)域上的另一種推廣，上一種推廣僅僅是推出了有界性，而下面的推廣給出了在有界的情況下內(nèi)部的上界的與邊界的上界間的關(guān)系

同樣考慮帶型區(qū)域

以及令??且在其閉包??連續(xù)，設(shè)在 D?中有??，記

那么首先這里先用Phragmén-Lindel?f方法證明一個引理：

（引理）?在上述條件下，若??，則在 D?內(nèi)有??.

證明：令??為任意正實數(shù)，定義

由于在??上有??，因此

接著構(gòu)造個矩形

有??，所以

由此在??上有??，根據(jù)最大模原理可知在?Σ?內(nèi)也有 ?，而在其余部分上也有??，所以 ?，令 ?即可得證.

現(xiàn)在回到一般情況，令

顯然它在整個??內(nèi)解析，且有

因此??滿足引理的假設(shè)，?所以在 D 內(nèi)有? ，也就是說

現(xiàn)在作代換??，帶型區(qū)域 D 就變?yōu)榱艘粋€圓環(huán)

?

其中? 定義

易知 F 在圓環(huán) R 上解析且在 ?上連續(xù)，且有??，所以可以直接得到如下定理：

（Hadamard三圓定理）若 F?滿足上訴條件，則有

?當然也可以對它取冪得到封面的形式

差不多遼，收工.