預備知識：

1. 收斂數(shù)列{an}極限為a，則an=a+ɑn，其中{ɑn}為一個無窮小；

2. 收斂數(shù)列必有界；

3. 有限個無窮小的和還是無窮?。?/p>

4. 有界數(shù)列乘以無窮小的積還是無窮??；

5. 設lim an=a，則lim（a1+a2+……+an）/n=a；

6. 設lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

7. 非奇異/非退化/滿秩矩陣：設A=（aij）為n階方陣，若|A|不為0，則稱A為非奇異（非退化，滿秩）矩陣，否則稱A為奇異（退化，降秩）矩陣。

參考資料：

1. 《數(shù)學分析習題演練》（周民強 編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)習題集》（楊子胥 編）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析習題演練（周民強?編著）》）——

a.設有數(shù)列{an}.若lim（an+1-an）=a，則lim an/n=a.

b,設lim?an=a.若lim n（an-an-1）=l，則l=0.

證明：

a.

1. an=a1+（a2-a1）+……+（an-an-1）

2. lim?an/n

   =lim [a1+（a2-a1）+……+（an-an-1）]/n

   =lim a1/n+lim[（a2-a1）+……+（an-an-1）]/（n-1）lim（n-1）/n

   =lim?a1/n+lim（an-an-1）lim（n-1）/n

   =0+a*1=a

b.

1. 令a0=0，令bn=n（an-an-1），則lim bn=lim（b1+b2+……+bn）/n=l；

2. l

   =lim bn

   =lim（b1+b2+……+bn）/n

   =lim[（a1-a0）+2（a2-a1）+……+n（an-an-1）]/n

   =lim[-（a0+a1+a2……+an-1）+nan]/n

   =-lim（a1+a2……+an-1）/（n-1）lim（n-1）/n+lim?an

   =-lim?an-1?lim（n-1）/n+lim?an

   =-a*1+a=0.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——

如果一個四面體有兩對對棱互相垂直，則第三對對棱也必垂直.而且三對對棱平方和相等。

證明：任取點O，對四面體ABCD，設AB垂直于CD，AC垂直于BD，要證AD垂直于BC——

1. AB垂直于CD，則AB CD=0，（OB-OA）（OD-OC）=OB OD-OB OC-OA OD+OA OC=0；

2. AC垂直于BD，則AC?BD=0，（OC-OA）（OD-OB）=OC?OD-OB?OC-OA OD+OA?OB=0；

3. 由1,2：OB?OD-OB?OC-OA OD+OA?OC=OC?OD-OB?OC-OA?OD+OA?OB，則OB?OD+OA?OC=OC?OD+OA?OB；

4. AD BC

   =（OD-OA）（OC-OB）

   =OD OC-OA OC-OD OB+OA OB

   =（OC?OD+OA?OB）-（OA OC+OD OB）

   =0，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)習題集（楊子胥 編）》）——

證明：若A^2=A，但A不為E，則A必為降秩矩陣。

證：

1. A^2=A，則A^2-A=0，即A（A-E）=0；

2. 假設A為滿秩矩陣，即|A|不為0，則A有逆矩陣A^（-1）；

3. （A（-1）A）（A-E）=A^（-1）0，即A-E=0，則A=E，與題設矛盾，故而A為降秩矩陣。

到這里！