【考點(diǎn)梳理】

1．曲線(xiàn)與方程的定義
一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)＝0的實(shí)數(shù)解建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程，這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)。

2．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟

【考點(diǎn)突破】

考點(diǎn)一、直接法求軌跡方程

?例1?已知△ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_______.
[答案]? (1) A? (2) (2，2)

[解析]? 設(shè)A(x，y)，由題意可知Dx2，y2.
又∵|CD|＝3，∴x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，∴點(diǎn)A不能落在x軸上，即y≠0，
∴點(diǎn)A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0).

[類(lèi)題通法]
直接法求軌跡方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)性。

通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線(xiàn)的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性。

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于－13，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______________．
[答案]? x2＋3y2＝4(x≠±1)

[解析]??

因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，
由題意得y－1x＋1?y＋1x－1＝－13，化簡(jiǎn)得x2＋3y2＝4(x≠±1)，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)

考點(diǎn)二、相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程

?例2?設(shè)F(1,0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程
[解析]? 設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM―→⊥PF―→，PM―→＝(x0，－y0)，PF―→＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)?(1，－y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
由MN―→＝2MP―→，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，
∴－x＋y24＝0，即y2＝4x故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x

[類(lèi)題通法]
代入法求軌跡方程的四個(gè)步驟
(1)設(shè)出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)P(x，y)
(2)尋找所求動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(x′，y′)的關(guān)系
(3)建立P，Q兩坐標(biāo)間的關(guān)系，并表示出x′，y′
(4)將x′，y′代入已知曲線(xiàn)方程中化簡(jiǎn)求解

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
如圖，已知P是橢圓x24＋y2＝1上一點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M.若PN―→＝λNM―→
(1)求N點(diǎn)的軌跡方程；
(2)當(dāng)N點(diǎn)的軌跡為圓時(shí)，求λ的值
?
[解析]? (1)設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，N(x，y)，
則M的坐標(biāo)為(x1，0)，且x＝x1，
∴PN―→＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，
NM―→＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，
由PN―→＝λNM―→得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．
∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.
∵P(x1，y1)在橢圓x24＋y2＝1上，
則x214＋y21＝1，
∴x24＋(1＋λ)2y2＝1，
故x24＋(1＋λ)2y2＝1即為所求的N點(diǎn)的軌跡方程
(2)要使點(diǎn)N的軌跡為圓，則(1＋λ)2＝14，
解得λ＝－12或λ＝－32.
∴當(dāng)λ＝－12或λ＝－32時(shí)，N點(diǎn)的軌跡是圓

考點(diǎn)三、定義法求軌跡方程

?例3?已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.求C的方程

[解析]??

由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.
因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2

由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為 x24＋y23＝1(x≠－2)

【變式1】將本例的條件“動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切”改為“動(dòng)圓P與圓M、圓N都外切”，求圓心P的軌跡方程

[解析]??

由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；
圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.
設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R，
因?yàn)閳AP與圓M，N都外切，

所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2

所以點(diǎn)P的軌跡方程為y＝0(x<－2)

【變式2】把本例中圓M的方程換為：(x＋3)2＋y2＝1，圓N的方程換為：(x－3)2＋y2＝1，求圓心P的軌跡方程

[解析]??

由已知條件可知圓M和N外離，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，
由雙曲線(xiàn)的定義知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)的右支

其方程為x2－y28＝1(x>1)

【變式3】在本例中，若動(dòng)圓P過(guò)圓N的圓心，并且與直線(xiàn)x＝－1相切，求圓心P的軌跡方程

[解析]??

由于點(diǎn)P到定點(diǎn)N(1，0)和定直線(xiàn)x＝－1的距離相等，
所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，

點(diǎn)P的軌跡是以N(1，0)為焦點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)，

故其方程為y2＝4x

[類(lèi)題通法]
應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線(xiàn)定義判斷是何種曲線(xiàn)，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E
(1)證明|EA|＋|EB|為定值；
(2)求點(diǎn)E的軌跡方程，并求它的離心率

[解析]??

(1)證明：因?yàn)閨AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4

(2)由圓A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，則|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由橢圓定義，知點(diǎn)E的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(不含與x軸的交點(diǎn))
所以a＝2，c＝1，則b2＝a2－c3＝3
所以點(diǎn)E的軌跡方程為x24＋y23＝1(y≠0)
故曲線(xiàn)方程的離心率e＝ca＝12