《下冊》

- - - - - - - - - - - - - chap 10 - - - - - - - - - - - - - -

| 第十章 二重積分

P114 概念：曲頂柱體體積

乘積和式的極限（直徑最大值趨于零）

f(x,y)有界即可,任意分（后續(xù)為了計(jì)算是格子分法），如果極限存在，就是二重積分，記作?f(x,y)dσ

dσ 面積元素

積分區(qū)域、定義域

直角坐標(biāo)系：?f(x,y)dxdy

極坐標(biāo)：

P115 性質(zhì)

• 性質(zhì)2：一個(gè)積分區(qū)域分成幾個(gè)
• 性質(zhì)3：被積函數(shù)==1
• 性質(zhì)4-6：性質(zhì)不等式（證明題）
• 性質(zhì)6：中值定理

P116 計(jì)算（直角坐標(biāo)系）

x型：先固定x，y是x函數(shù)，再把得到的關(guān)于下的表達(dá)式從a積到b

步驟：

1. 畫出積分區(qū)域（xoy）
2. x從幾到幾，就是a b
3. 寫外層積分號(hào)——上下限是a b——dx
4. 寫內(nèi)層積分號(hào)——上下限是y關(guān)于x的函數(shù)2個(gè)（拿筆切一切）——被積函數(shù)抄過來——dy

y型：

1. 畫出積分區(qū)域（xoy）
2. y從幾到幾
3. 左右函數(shù)是誰

特殊：

積分區(qū)域是長方形：兩個(gè)上下限都是常數(shù)

積分區(qū)域長方形切被積函數(shù)可以拆成x的函數(shù)乘y的函數(shù)：兩個(gè)積分可以分別算

P117-118 有關(guān)極坐標(biāo)的補(bǔ)充

表示一個(gè)點(diǎn)

表示一個(gè)圓（一段?。▓A心不在原點(diǎn)）

表示圓面（圓環(huán)）（圓心不在原點(diǎn)）

表示線段：

1. 先得到θ
2. 記住x=ρcosθ，y=ρsinθ
3. 線段y=kx+b 帶進(jìn)去就有了ρ被θ表示的式子

表示一個(gè)矩形面（結(jié)合表示線段的方法）

P119 計(jì)算二重積分（極坐標(biāo)）

思想：

記?。?/p>

求上面二重積分的步驟：

1. 畫圖
2. 角度θ由α變?yōu)棣拢ㄏ裙潭ǎ?/li>
3. 半徑ρ的上下限是外層、內(nèi)層

- - - - - - - - - - - - - - chap 9 - - - - - - - - - - - - - -

| 第九章 多元函數(shù)

P91 點(diǎn)集+內(nèi)外邊界點(diǎn)（都是聚點(diǎn)）+開/閉集+連通集+（開）區(qū)域/閉區(qū)域+有/無界集

P92 （線代）n維空間

P93 有極限的條件：沿任意路徑逼近

求極限：復(fù)習(xí)一元函數(shù)求極限的所有方法

驗(yàn)證極限存不存在：從兩個(gè)方向逼近某點(diǎn)

例題：

- - - - - - - - - - - - - - - 重要- - - - - - - - - - - - - - -

P94 偏導(dǎo)定義+求偏導(dǎo)+偏導(dǎo)存在多元函數(shù)未準(zhǔn)連續(xù)

定義：

P95 全微分+偏微分+近似計(jì)算

偏增量&全增量

ΔS ≈ yΔx + xΔy

全微分dz = AΔx + BΔy（A是f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，B是f對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)）（dz是Δz的近似，拋棄了高階無窮小的部分）

xy/（x2+y2）在x，y趨于零時(shí)沒有極限

• 可微?偏導(dǎo)存在
• 偏導(dǎo)存在且偏導(dǎo)連續(xù)?可微

偏微分dxz = x的偏導(dǎo)數(shù)*dx

所以dz = dxz + dyz（偏微分相加得全微分）

近似計(jì)算 z+dz

P96 復(fù)合求導(dǎo)：先畫圖

P98 隱函數(shù)求導(dǎo)（單個(gè)方程）存在定理1、2

F(x, y) = 0 或 F(x, y,z) = 0

公式：①有負(fù)號(hào)②交錯(cuò)對(duì)應(yīng)

注意等號(hào)右邊是0，二階直接對(duì)一階求導(dǎo)

P99 隱函數(shù)求導(dǎo)（方程組）存在定理3

Jacobian行列式+補(bǔ)充Cramer法則解釋負(fù)號(hào)哪去了

方程組兩邊對(duì)x，y分別求偏導(dǎo)然后解方程組

或看看是否能直接寫成顯函數(shù)

P101

P102 求曲線在某點(diǎn)的切線&法平面

1. 給參數(shù)方程：求導(dǎo)帶進(jìn)去
2. y和z是x的函數(shù)：轉(zhuǎn)化為第一種
3. 由曲面相交的曲線（書上：多元復(fù)合隱函數(shù)）
4. 對(duì)于3，Cramer法制

P104 方向?qū)?shù)+總結(jié)

P104 第一部分【定義】方向?qū)?shù)

記作（偏導(dǎo)號(hào)），L是方向，x0y0是點(diǎn)

【結(jié)論1】當(dāng)L是i,j方向時(shí)，方向?qū)Ь褪菍?duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù)

【結(jié)論2】方向?qū)?shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)未必存在

【定理】

求方向?qū)?shù)的步驟：

1. 方向
2. 單位向量
3. 偏導(dǎo)
4. 代入公式

三元的也一樣

P104 【第二部分】多元函數(shù)的偏導(dǎo)、可微、連續(xù)、方向?qū)?shù)存在性總結(jié)

P105 梯度

梯度是一個(gè)向量

• （f對(duì)x的偏導(dǎo)，f對(duì)y的偏導(dǎo)）

理解

• 方向是函數(shù)在這點(diǎn)方向?qū)?shù)取最大值的方向（二維的）
• 大小是最大的方向?qū)?shù)

P106 兩點(diǎn)提示

P107-108 梯度例題

1. 直接求梯度：對(duì)x,y分別求偏導(dǎo)
2. 問在某點(diǎn)啥方向增加最快（梯度方向）？
3. 減少最快（梯度反方向）？
4. 增加率為零（梯度垂直方向）？
5. 沿什么方向變化最快（兩個(gè)方向）？
6. 變化率是多少（方向?qū)?shù)，梯度絕對(duì)值）？
7. 求在某點(diǎn)的切平面（點(diǎn)法式，法向量就是梯度）？法線（參數(shù)方程）？

P109 多元函數(shù)求極值

【定義】極值：鄰域內(nèi)

【定理1】有極值有偏導(dǎo)，則x偏導(dǎo)=0且y偏導(dǎo)=0

【定義】駐點(diǎn)：xy偏導(dǎo)=0同時(shí)成立的點(diǎn)

具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)

函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

【定理2】判斷駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)（見下例）

例4：f(x,y) = x3-y3+3x2+3y2-9y

步驟：

1. 對(duì)x,y，分別求一階偏導(dǎo)
2. 二者都等于零，解方程組，得到駐點(diǎn)（x的解和y的解自由組合，4個(gè)）
3. 求二階偏導(dǎo)：f''xx，f''xy，f''yy
4. 每個(gè)點(diǎn)帶入上面三個(gè)式子得到A，B，C
5. AC-B2
6. 如果大于零，再看A，A小于零極大值，A大于零極小值
7. 如果小于零，則無極值
8. 如果等于零，無法判斷

P111 最值

最值可能在哪取？一個(gè)駐點(diǎn)

P112 無條件極值、條件極值

例：z = f(x, y) 且φ(x, y) = 0

步驟：

1. 構(gòu)造輔助函數(shù)L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)
2. L對(duì)x求偏導(dǎo)，y求偏導(dǎo)，分別等于零，解方程組

u = f(x, y, z, t) 兩個(gè)約束，步驟一樣

P113 例題：

- - - - - - - - - - - chap 9 the end - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - chap 8 - - - - - - - - - - - - - -

| 第八章 向量&空間

P74 復(fù)習(xí)高中有關(guān)向量的知識(shí)+向量單位化

P75 人生哲理+右手坐標(biāo)系+向量線性運(yùn)算+解以向量為未知數(shù)的方程組+爪子定理

P76 向量模|r|+距離公式|AB|

P77 方向角+方向余弦+小故事+投影等于長度乘余弦

1.方向余弦即坐標(biāo)向量（x,y,z）

與方向余弦同方向的單位向量即為（cosa,cosb,cosr）

2.投影性質(zhì)1

性質(zhì)2

性質(zhì)3

P78 數(shù)量積（數(shù)乘、點(diǎn)乘、內(nèi)積） + 余弦定理 + 直角坐標(biāo)的向量點(diǎn)乘（分量對(duì)應(yīng)相乘再相加）

點(diǎn)乘定義式

改寫

再改寫

性質(zhì)五條

① a·a=|a|2

② a·b=0 ? a⊥b

③ 交換律

④ 分配律

⑤ (ka)·b = k(a·b)

P79 向量積（叉乘）+直角坐標(biāo)的向量點(diǎn)乘（寫三階行列式）

性質(zhì)五條

① a×a=0

② a×b=0 ? a∥b

③ 不滿足交換律 a×b= -b×a（方向是反的）

④ 分配律

⑤ (ka)×b = k(a×b)

P80 平面方程：點(diǎn)法式+一般式

點(diǎn)法式（聯(lián)系直線的點(diǎn)斜式）

(A,B,C)是平面的法向量

法一：利用叉乘，先求法線，再用點(diǎn)法式

法二：用一般式，解方程組

擴(kuò)：克萊姆法則，行列式等于零->無窮多解

P81 一般方程+截距式

Ax + By + Cz + D = 0

D=0 過原點(diǎn)

A=0 平行x軸

A=B=0 平行x，y軸（垂直z軸）

法一：

法二：

截距式，a，b，c叫截距

P82 平面夾角（取銳角）+點(diǎn)到平面的距離公式

1.平面夾角

2.點(diǎn)到平面的距離公式

P83 空間直線的方程：一般方程+對(duì)稱式方程+參數(shù)方程

對(duì)稱方程又叫標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)向式方程

例題：三種方程相互轉(zhuǎn)化

一般式→對(duì)稱式

①隨便找出一個(gè)交點(diǎn)M0

②求兩個(gè)平面的法向量n1和n2

③S=n1×n2（行列式）

對(duì)稱式→參數(shù)方程

比值設(shè)t

參數(shù)方程→對(duì)稱式

分離t，寫出連等式

對(duì)稱式→一般式

寫開

P84 線線角+線面角

線線角:方向向量的夾角（取銳角，絕對(duì)值）cosθ

線面角:sinφ=|cos<S, n>|

P85 三道題+理解三種方程本質(zhì)+平面束

1.預(yù)備知識(shí)：從三種方程中我們能得到什么信息

一般式（面面聯(lián)立）

交線的方向向量：兩平面法向量叉乘 n1×n2

對(duì)稱式

過一點(diǎn)

方向向量（分母）

參數(shù)方程

直接轉(zhuǎn)化成對(duì)稱式

2.例題：

1. ?

   雜例 P85 - 08:30

   ?
2. 求線面交點(diǎn)：直線轉(zhuǎn)參數(shù)方程
3. ?

   雜例 P85 - 26:60

   ?

P86 球面方程

兩點(diǎn)距離等于半徑（逆過程：配方）

Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0

滿足A≠0且D2+E2+F2＞4AG

- - - - - - - - - - - - - - - 待續(xù)- - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - 待續(xù)- - - - - - - - - - - - - - -

P87 旋轉(zhuǎn)曲面

P88 柱面

P89 二次曲面

P90 空間曲線方程

| 第十一章

P132

| 第十二章

P143

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| 有關(guān)三角函數(shù)的求不定積分

| 第一類換元

| 奇數(shù)次方：往dx里扔1個(gè)

例1

例2

例3

例4

| 全是偶次：倍角公式降次

例1

例2

例3

例4

| 積化和差

| 第二類換元

例1

————e--n--d————