m-c-k系統(tǒng)是個很簡單的二階振蕩系統(tǒng)，這里當做控制學(xué)習(xí)的一個記錄寫一寫。

一個質(zhì)量塊m-kg，一個阻尼器c-N·s/m，一個彈簧k-N/m。

1、傳遞函數(shù)分析：

系統(tǒng)的輸入為f(t),是一個作用力；輸出為y(t)，是一個位移。

系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程為：

拉氏變換：

得到傳遞函數(shù)：

可知，mck系統(tǒng)是由一個比例(增益)環(huán)節(jié)

和一個振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)

所組成，特征方程為

? 很好理解，假如f(t)是一個相當于階躍輸入的靜載荷力F，振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)隨時間衰減到0，系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，輸出的位移x，就是彈簧的形變，也就是遵循Hooke定律。

而系統(tǒng)的動態(tài)特性由振蕩環(huán)節(jié)決定。

對于一個二階系統(tǒng)，標準形式的傳遞函數(shù)為：?

? 用標準系統(tǒng)，去對比mck系統(tǒng)的振蕩環(huán)節(jié)，可知mck系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和阻尼比分別為：

? ?所以mck系統(tǒng)的無阻尼固有頻率和k、m有關(guān)，阻尼比和參數(shù)c成正比，和參數(shù)m、k成反關(guān)系。比較好理解，可以想象質(zhì)量塊的質(zhì)量m或者彈簧的彈性k增加時，都會使阻尼c的作用相對而言變小，變得不明顯。

? ??在分析時間響應(yīng)的時候，振蕩環(huán)節(jié)存在一個有阻尼固有頻率，當阻尼比取值為0、[0,1]、1、[1,很大] 時，分別稱為無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼系統(tǒng)。

在頻率特性分析中，振蕩環(huán)節(jié)存在一個諧振頻率，且越小，諧振峰值Mr越大。

2、狀態(tài)空間表達式分析：

? ?系統(tǒng)中的獨立儲能元件為彈簧和質(zhì)量塊，所以選擇兩個狀態(tài)變量，分別為x1=x（位移） ，x2=v= dx/dt（速度）。? 輸出y = x（位移）；所謂的振蕩就是彈簧的勢能和質(zhì)量塊的動能的相互轉(zhuǎn)換，彈簧所具有的位能和質(zhì)量塊所具有的動能分別為：

根據(jù)狀態(tài)變量本身的關(guān)系、系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程、輸出和狀態(tài)變量的關(guān)系，可以寫出：

進而得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程分別為：

其中：系統(tǒng)矩陣

控制矩陣

輸出矩陣

? ?通過系統(tǒng)矩陣A和控制矩陣B，可以大致知道系統(tǒng)的運動因果過程： 輸入F，通過控制矩陣中的1/m，產(chǎn)生一個x2導(dǎo)（加速度）, x2導(dǎo)經(jīng)過時間積分產(chǎn)生x2（速度），x2以1的倍數(shù)關(guān)系控制x1導(dǎo)（定義的時候其實x1導(dǎo)就是x2，因為位移的時間導(dǎo)數(shù)就是速度），x2同時以-c/m的關(guān)系（阻尼力）反饋控制其本身導(dǎo)數(shù)（加速度），x1導(dǎo)時間積分后產(chǎn)生x1（位移），x1以-k/m關(guān)系（彈簧力）控制x2導(dǎo)（加速度）。

? 即：A矩陣中主對角線反映的是狀態(tài)變量對其自身變化量的反饋，非主對角線元素反應(yīng)狀態(tài)變量之間的交互作用情況。x2和x1之間的交互作用就是動能和勢能的相互裝換，x2本身的交互作用就是阻尼消耗能量的過程。

3、具體分析：

阻尼比大的話，振蕩現(xiàn)象就會不明顯。為了使后面的各種超調(diào)量都明顯一些，設(shè)定 ：

選擇滿足設(shè)定的一組參數(shù)組合，m = 1kg , k =100 N/m , c = 6 N/(m/s)。

利用matlab，建立模型并分析。

建立傳遞函數(shù)模型：

m = 1; k = 100; c = 6;

sys_tf = tf(1,[m,c,k])*k? ?%乘k,相當于把傳遞函數(shù)中的增益環(huán)節(jié)變成1，也相當于沒有。sys_tf中就只是振蕩環(huán)節(jié)。

時域：

subplot(2,1,1),impulse(sys_tf,2),grid on

subplot(2,1,2),step(sys_tf,2),grid on

S = stepinfo(sys_tf)? ?%階躍響應(yīng)的性能指標，函數(shù)返回一個struct類型數(shù)據(jù)。

性能參數(shù)都是一直且正確的。

頻域：

subplot(1,2,1),bode(sys_tf),grid on;

subplot(1,2,2),nyquist(sys_tf),grid on;

諧振頻率也是吻合的。