質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)與黎曼 zeta 函數(shù)的關(guān)系以及其顯式形式 [上]

2023-07-19 20:31 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

眾所周知,? Reimann ζ 的零點(diǎn)與質(zhì)數(shù)有著密不可分的關(guān)系,? 其中最直接的就是質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)?π(x) 可以由 ζ 的零點(diǎn)表示,? 質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)就是給出小于等于 x 的質(zhì)數(shù)的數(shù)量,? 比如?π(10) = 4,? 因?yàn)樾∮诘扔?10 的質(zhì)數(shù)有 4 個: 2, 3, 5, 7,? 注意 π(x) 的 x 不只是整數(shù),? 對于任意正實(shí)數(shù)都是可以的,? 下面是?π(x) 的 1~100的圖像:

可以看到隨著 x 的增加,? 遇到一個質(zhì)數(shù)時?π(x) 的值就會增加 1 (廢話).? 但實(shí)際上由 ζ 的零點(diǎn)給出的顯式形式并不是?π(x),? 而是一個稍微"圓滑"一點(diǎn)的函數(shù)?π?(x),? 這個函數(shù)隨著 x 的增加遇到質(zhì)數(shù)時,??π?(x) 只會增加 0.5,? 隨后才會再增加 0.5,? 也就是說?π?(x) 在質(zhì)數(shù)處只會取到半整數(shù)而不是整數(shù),? 如下圖所示:

這種奇怪的跳一半的性質(zhì)對于熟悉 Fourier 變換的人來說一定很熟悉,? 在這里的原因也是類似的.? 在開始計算之前,? 下面介紹符號以及引入另外幾個與質(zhì)數(shù)密切相關(guān)的函數(shù)

符號 & 函數(shù)

符號? $p$ 表示質(zhì)數(shù),? 并且? $%5Csum_p$ ?表示 p 取全體質(zhì)數(shù)的求和符號.? 那么質(zhì)數(shù)計數(shù)函數(shù)寫成式子為? $%5Cpi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D1$ .

符號? $%5Crho$ 表示 ζ 的零點(diǎn) (平凡的和非平凡的),? 類似地,?? $%5Csum_%5Crho$ 表示 ρ 取全體 ζ 零點(diǎn)的求和符號.? 另外,? 因?yàn)槠椒擦泓c(diǎn)的實(shí)部總是小于 0,??非平凡零點(diǎn)的實(shí)部總是大于 0,? 所以使用? $%5Crho_-%2C%5C%2C%5Crho_%2B$ 分別表示平凡零點(diǎn)和非平凡零點(diǎn).

第一個引入的函數(shù)是 von Mangoldt 函數(shù) Λ,? 其定義如下:

$%5CLambda(x)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cln%20p%2C%26x%3Dp%5Ek%2C%5C%2Ck%5Cgeq1%2C%5C%2Ck%5Cin%5Cmathbb%20Z%5C%5C0%2C%26%5Cmathrm%7Botherwise%7D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

也就是當(dāng)整數(shù) x 是某個質(zhì)數(shù) p 的次方數(shù)時,??Λ(x) 為 p 的自然對數(shù),? 否則為 0.

第二個引入的函數(shù)是 Chebyshev 函數(shù) ψ,? 其定義如下:

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7Bx%7D%5CLambda(x)$

也就是 ψ 是?Λ 的求和函數(shù),? ψ 存在一種等價的定義:? 在給出 p 和 x 時有?x = p^k,? 那么小于等于 x 的 "p 的次方數(shù)" 的數(shù)量為 ?k?,? 其中 ?·? 為向下取整函數(shù),? 那么 ψ 可以定義為 $%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cleft%5Clfloor%5Clog_px%5Cright%5Crfloor%5Cln%20p$ ,? 下圖是 ψ(x) 的?1~100 的圖像.

另外,? ψ 也存在"圓滑"的版本 ψ?,? 與?π? 類似,? 這個函數(shù)在進(jìn)行"跳躍" 時會分為兩次"跳躍".? 并且?π? 和 ψ? 都可以通過下式定義,? 其中 f 為?π 或?ψ

$f_0(x)%3D%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac12%5Cleft(f(x-%5Cvarepsilon)%2Bf(x%2B%5Cvarepsilon)%5Cright)$

在進(jìn)行函數(shù)的積分變換時就會出現(xiàn)這種情況,? 這里以 Fourier 變換為例,? 但這對于下面提到的 Mellin 變換也是一樣的.

$%5Chat%5Cpsi%3A%3D%5Cmathcal%20F%5Cpsi%5CRightarrow%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5Chat%5Cpsi%3D%5Cpsi_0$

由 π 和?ψ 的定義可以知道,??π(1) =?ψ(1) = 0,? 這個性質(zhì)在下面將會非常重要.

質(zhì)數(shù)定理 & 黎曼猜想

質(zhì)數(shù)定理描述的是隨著數(shù)字增大時質(zhì)數(shù)分布的情況,? 第一個估計由下式給出:

$%5Cpi(x)%5Csim%5Cfrac%20x%7B%5Cln%20x%7D$

對上式的另一種描述是? $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpi(x)%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Cln%20x%7D%7D%3D1$ .? 這個式子表示隨著 x 的增大,? 質(zhì)數(shù)計數(shù) π(x) 會趨向于 x / ln x.? 另一個更好的估計由下式給出:

$%5Cpi(x)%5Csim%5Cmathrm%7Bli%7D(x)$

其中 li 是對數(shù)積分函數(shù)? $%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%3D%5Cint_0%5Ex%5Cfrac%7Bdt%7D%7B%5Cln%20t%7D%20$ ,? 很多地方會使用另一個有略微不同的對數(shù)積分函數(shù) Li(x) = li(x) - li(2),? 不過這個常數(shù)對 x → ∞ 時沒有影響.? 兩種估計的相對誤差如下圖所示:

雖然質(zhì)數(shù)定理存在初等證明但是非常繁瑣,? 又存在簡短但使用柯西積分定理的證明,? 但是這里既然提到了 ζ 零點(diǎn)以及?Chebyshev 函數(shù),? 那么下面將使用這兩個來證明質(zhì)數(shù)定理.

首先,? 質(zhì)數(shù)定理? $%5Cpi(x)%5Csim%20%5Cfrac%20x%7B%5Cln%20x%7D$ ?等價于 $%5Cpsi(x)%5Csim%20x$ ,? 如果后者成立,? 那么質(zhì)數(shù)定理也成立.

證明等價性:? 由 ψ 的定義得

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cleft%5Clfloor%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20p%7D%5Cright%5Crfloor%20%5Cln%20p%5Cleq%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cfrac%7B%5Cln%20x%7D%7B%5Cln%20p%7D%5Cln%20p%3D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20x%3D%5Cpi(x)%5Cln%20x$

然后對于任意 0 < ε < 1 有

$%5Cpsi(x)%5Cgeq%5Csum_%7Bx%5E%5Cvarepsilon%3Cp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20p%3E%5Csum_%7Bx%5E%5Cvarepsilon%3Cp%5Cleq%20x%7D%5Cln%20x%5E%5Cvarepsilon%3D%5Cleft(%5Cpi(x)-%5Cpi(x%5E%5Cvarepsilon)%5Cright)%5Cvarepsilon%5Cln%20x%3E%5Cleft(%5Cpi(x)-x%5E%5Cvarepsilon%5Cright)%5Cvarepsilon%5Cln%20x$

將上式兩邊同除以 x 得

$%5Cfrac%7B%5Cpsi(x)%7Dx%3E%5Cvarepsilon%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi(x)%5Cln%20x%7Dx-x%5E%7B%5Cvarepsilon-1%7D%5Cln%20x%5Cright)$

當(dāng) x → ∞ 時 x^{ε-1}*ln x → 0,? 即 $%5Cpsi(x)%3E%5Cvarepsilon%5Cpi(x)%5Cln%20x$

綜合上面兩個結(jié)論得? $%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%5Cpsi(x)%7D%7B%5Cpi(x)%5Cln%20x%7D%3D1$ ,? 即? $%5Cpsi(x)%5Csim%20%5Cpi(x)%5Cln(x)$ ,? 那么如果質(zhì)數(shù)定理成立,? 則有?ψ(x) ~ x,? 反之亦然.

然后證明 ψ(x) ~ x:

首先 ψ 有以下顯示形式 (后文有給出):

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln(2%5Cpi)-%5Cfrac12%5Cln%5Cleft(1-x%5E%7B-2%7D%5Cright)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

正如符號約定里面說的,? ρ? 表示 ζ 的非平凡零點(diǎn).? 當(dāng)?x → ∞ 時,? 1/2 * ln(1-x?2) → 0,? 那么如果 ψ(x) ~ x,? 則上式求和部分的增長速度小于 x.

設(shè) Re(ρ?)?= σ,? 可以知道求和內(nèi)的增長速度受限于 x^σ,? 那么求和部分的增長速度受限于? $x%5E%7B%5Csigma_%5Cmax%7D$ ,? 其中 σ??? 為所有非平凡零點(diǎn)里最大的實(shí)部,? 在前前篇文章里有證明過:? ζ?非平凡零點(diǎn)只在?0 < Re(s) < 1 里,? 也就是說?σ??? < 1,? 亦即證得?ψ(x) ~ x,? 從而證明了質(zhì)數(shù)定理.

實(shí)際上有? $%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D%3DO(x%5E%7B%5Csigma_%5Cmax%7D%5Cln%5E2x)$ ,? 但是證明這個式子有億點(diǎn)復(fù)雜,? 而且跟上面的理念差不多.? 因?yàn)橘|(zhì)數(shù)定理與?ψ(x) ~ x 等價,? 而 ψ(x) - x 的增長速度與 x^σ??? 有關(guān),? 當(dāng)黎曼猜想成立時 (即?σ??? = 1/2),? 可以得出結(jié)論? $%7C%5Cpi(x)-%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%7C%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%7D%5Cln%20x%7D%7B8%5Cpi%7D%2C%5C%2Cx%5Cgeq2567$ ?(Schoenfeld, 1976).

Λ?與 ζ 的聯(lián)系

?Λ 與 ζ 有? $%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D$ ,? 證明:

注意到? $%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cln%20f(x)%3D%5Cfrac%7Bd(%5Cln%20f(x))%7D%7Bd(f(x))%7D%5Cfrac%7Bd(f(x))%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bf'(x)%7D%7Bf(x)%7D$ ,? 那么

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Czeta(s)$

代入 ζ 的歐拉乘積形式

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(%5Cprod_p%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%5Cright)%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Csum_p-%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)$

$%3D-%5Csum_p%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%3D-%5Csum_p%5Cleft(1-p%5E%7B-s%7D%5Cright)%5E%7B-1%7Dp%5E%7B-s%7D%5Cln%20p$

Taylor 展開? $(1-x)%5E%7B-1%7D%3D%5Csum_%7Bk%5Cgeq0%7Dx%5Ek$ ?得

$%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq0%7Dp%5E%7B-sk%7D%5Ccdot%20p%5E%7B-s%7D%5Cln%20p%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cln%20p%7D%7Bp%5E%7Bsk%7D%7D%20$

由?Λ 的定義可得

$%3D-%5Csum_p%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(p%5Ek)%7D%7B(p%5Ek)%5Es%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D$

ψ 與 ζ 的聯(lián)系

不難知道? $s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Dn%5E%7B-s%7D%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E0$ ,? 證明:

$s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Ccdot%5Cleft.%5Cfrac%7Bx%5E%7B-s%7D%7D%7B-s%7D%5Cright%7C_n%5E%5Cinfty%3D%5Cleft.-x%5E%7B-s%7D%5Cright%7C_n%5E%5Cinfty%3Dn%5E%7B-s%7D$

那么 ψ 與 ζ 有? $(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7Bs%5Czeta(-s)%7D$ ,? 證明:? 由?Λ 與 ζ 的聯(lián)系得

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5CLambda(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5CLambda(n)n%5E%7B-s%7D$

$%3D-%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5CLambda(n)s%5Cint_n%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3D-s%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_n%5E%5Cinfty%5CLambda(n)x%5E%7B-s-1%7Ddx$

另外有 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_n%5E%5Cinfty%3D%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Clfloor%20x%5Crfloor%7D$ ,? 并且對于正實(shí)數(shù) x 有 $%5Cpsi(x)%3D%5Cpsi(%5Clfloor%20x%5Crfloor)$ ,? 那么

$%3D-s%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Clfloor%20x%5Crfloor%7D%5CLambda(n)x%5E%7B-s-1%7Ddx%3D-s%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Cpsi(x)x%5E%7B-s-1%7Ddx$

根據(jù) ψ 的定義,? ψ(0) = 0,? 所以 Uψ = ψ,??那么上式的積分下限可以變?yōu)?0,? 使用 -s 替換 s 上式得到

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7B%5Czeta(-s)%7D%3Ds%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cpsi(x)x%5E%7Bs-1%7Ddx%3Ds(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)$

證畢.? 另外這個聯(lián)系可以寫為與參數(shù)無關(guān)的形式? $%5Cmathcal%20R%5Cleft((%5Cln%5Ccirc%5Czeta)'%5Cright)%3DI%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5Cpsi$ ,? 應(yīng)用上面列出的算符運(yùn)算,??得到 $(%5Cmathcal%20R(%5Cln%5Ccirc%5Czeta))'%3D%5Cmathcal%7BMD%7D%5Cpsi$ .

ψ 的顯式形式

實(shí)際上有了上面的關(guān)系之后,? 熟悉復(fù)分析的人就可以用 Mellin 逆變換開始嗯算了,? 但是這里進(jìn)行一個巧的取.

Hadamard 根據(jù)?Weierstrass 分解定理給出了 ζ 的一種表達(dá)形式

$(s-1)%5Czeta(s)%3D%5Cfrac12%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7De%5Cright)%5Es%5Cprod_%5Crho%20e%5E%7B%5Cfrac%20s%5Crho%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)$

其中 ρ 為 ζ 的全部零點(diǎn).? 盡管這里不會證明這個表達(dá)式,? 但是可以描述一下?Weierstrass?分解定理:

首先復(fù)習(xí)代數(shù)基本定理:? 一個 n 次多項式? $f(s)%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Ena_ks%5Ek$ ?必定存在 n 個零點(diǎn),? 如果將第 j 個零點(diǎn)記為 ρ?,? 那么這個多項式可以表示為? $f(s)%3Db%5Cprod_%7Bj%3D1%7D%5Ens-%5Crho_j$ .

那么?Weierstrass 分解定理可以看作代數(shù)基本定理的擴(kuò)展:? 任意整函數(shù)都可以表示為與其零點(diǎn)相關(guān)的函數(shù)的乘積.? 假設(shè)整函數(shù) f(s) 的第 j 個非零零點(diǎn)為?ρ? (如果零點(diǎn)的階 k?> 1,? 那么重復(fù)出現(xiàn) k?次這個零點(diǎn)),? 并且 f 在 s = 0 為 m 階零點(diǎn) (m = 0 表示 0 不是 f 的零點(diǎn)),? 那么則存在整函數(shù) g(s) 和一系列整數(shù) b? 使得 $f(s)%3Ds%5Eme%5E%7Bg(s)%7D%5Cprod_%7Bj%7DE_%7Bb_j%7D%5Cleft(%5Cfrac%20s%7B%5Crho_j%7D%5Cright)$ ,? 其中 $E_b(s)%3D(1-s)%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5Ebe%5E%7B%5Cfrac%7Bs%5Ek%7Dk%7D$ .

有了 Hadamard 乘積形式后可以開始計算:

首先對于 Re(s) < Re(a)?有? $%5Cleft(%5Cmathcal%7BMU%7D%5Cleft%5C%7B-x%5Ea%5Cright%5C%7D%5Cright)%3D(s%2Ba)%5E%7B-1%7D$ ,? 證明:

$%5Cleft(%5Cmathcal%7BMU%7D%5Cleft%5C%7B-x%5Ea%5Cright%5C%7D%5Cright)(s)%3D%5Cint_1%5E%5Cinfty-x%5Eax%5E%7Bs-1%7Ddx%3D-%5Cint_1%5E%5Cinfty%20x%5E%7Bs%2Ba-1%7Ddx%3D-%5Cleft.%5Cfrac%7Bx%5E%7Bs%2Ba%7D%7D%7Bs%2Ba%7D%5Cright%7C_1%5E%5Cinfty%3D%5Cfrac1%7Bs%2Ba%7D$

其次有 $%5Cfrac%7B%5Cleft((s-1)%5Czeta(s)%5Cright)'%7D%7B(s-1)%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac1%7Bs-1%7D%2B%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D$ ,? 然后

$%5Cfrac%7B%5Cleft((s-1)%5Czeta(s)%5Cright)'%7D%7B(s-1)%5Czeta(s)%7D%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln((s-1)%5Czeta(s))$

將 Hadamard 乘積形式代入:

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cln%5Cleft(%20%5Cfrac12%5Cleft(%5Cfrac%7B2%5Cpi%7De%5Cright)%5Es%5Cprod_%5Crho%20%20e%5E%7B%5Cfrac%20s%5Crho%7D%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)%5Cright)$

$%3D%5Cfrac%20d%7Bds%7D%5Cleft(-%5Cln2%2Bs(%5Cln2%5Cpi-1)%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac%20s%5Crho%2B%5Cln%5Cleft(1-%5Cfrac%20s%5Crho%5Cright)%5Cright)$

$%3D%5Cln2%5Cpi%20-%201%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac1%5Crho%2B%5Cfrac1%7Bs-%5Crho%7D$

其中 1/ρ + 1/(s-ρ) = s / (ρ(s-ρ)),? 并且 1 + 1/(s-1) = s / (s-1),? 然后得到:

$%5Cfrac%7B%5Czeta'(s)%7D%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cln2%5Cpi-%5Cfrac%20s%7Bs-1%7D%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bs%7D%7B%5Crho(s-%5Crho)%7D$

應(yīng)用? $(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac1s%5Cfrac%7B%5Czeta'(-s)%7D%7B%5Czeta(-s)%7D$ ?得

$(%5Cmathcal%20M%5Cpsi)(s)%3D%5Cfrac%7B%5Cln2%5Cpi%7Ds-%5Cfrac1%7Bs%2B1%7D%2B%5Csum_%5Crho%5Cfrac1%5Crho%5Cfrac1%7Bs%2B%5Crho%7D$

由積分的線性可以知道?Mellin 變換也是線性的,? 對比上式可以得出

$(%5Cmathcal%20U%5Cpsi_0)(x)%3D-%5Cln2%5Cpi%2Bx-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho$

假設(shè) x > 1,? 然后把上式的求和部分的零點(diǎn)分為平凡零點(diǎn)和非平凡零點(diǎn),? 因?yàn)槠椒擦泓c(diǎn)為全部負(fù)偶數(shù),? 所以

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln2%5Cpi-%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B-2k%7D%7D%7B-2k%7D-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

$%3Dx-%5Cln2%5Cpi%2B%5Cfrac12%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(x%5E%7B-2%7D%5Cright)%5Ek%7Dk-%5Csum_%5Crho%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

并且有?Taylor 展開? $%5Cln(1-x)%3D-%5Csum_%7Bk%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Bx%5Ek%7Dk$ ?那么得到

$%5Cpsi_0(x)%3Dx-%5Cln2%5Cpi-%5Cfrac12%5Cln%5Cleft(1-x%5E%7B-2%7D%5Cright)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cfrac%7Bx%5E%7B%5Crho_%2B%7D%7D%7B%5Crho_%2B%7D$

另外一點(diǎn)比較有趣的是可以把 x 看作 x1 / 1,? 這個形式與上面的零點(diǎn)求和內(nèi)是一致的,? 但是與零點(diǎn)求和異號 (x 符號為正,? 零點(diǎn)求和為負(fù)),? 這是因?yàn)?1 是 ζ 的一階極點(diǎn),? 并且? $%5Cfrac%7B%5Czeta'(0)%7D%7B%5Czeta(0)%7D%3D%5Cln2%5Cpi$ ,? 也就是說 ψ 與 ζ 里的零點(diǎn), 極點(diǎn)和 0 有關(guān) (從 Weierstrass 分解定理也可以直接看出這點(diǎn)).

既然求得了顯式形式,? 那當(dāng)然要來看看圖片的:

上圖是使用了 ζ 的前 100 個非平凡零點(diǎn) (Im(ρ) > 0) 產(chǎn)生的圖像,? 可以看到在值較小時,? 顯式形式的 ψ??以及很好地與?ψ? 重疊了起來,? 但在值較大時還需要更多數(shù)量的零點(diǎn)才能足夠接近,? 下面是使用前 25000 個非平凡零點(diǎn)得到的絕對誤差:

圖中的尖刺產(chǎn)生的原因正是因?yàn)榉e分逆變換不能很好地在函數(shù)"跳躍"處收斂,? 其他地方都已經(jīng)有很好的接近了.

?(接下篇)

標(biāo)簽：質(zhì)數(shù)黎曼猜想