我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一階線性微分方程，并且知道如果有方程：

其解為:

其中

國(guó)內(nèi)的教材喜歡這樣寫(xiě)：

怎么選看自己咯！不過(guò)如果要應(yīng)付期末考試，還是用國(guó)內(nèi)的好。

何為二階線性微分方程？

其實(shí)不難得出，二階線性微分方程即方程中存在二階導(dǎo)數(shù)，比如：

這就是一種二階線性微分方程，解法也十分簡(jiǎn)單，我們逐個(gè)積分這個(gè)方程即可：

這就是我們最終求得的解。

可以看出，當(dāng)方程僅存在y''和x的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，解法就十分簡(jiǎn)單，直接連續(xù)積分即可。（但注意要有常數(shù)C）

但我們不可能止步于此，二階線性微分方程由于比一階高了一個(gè)等級(jí)，所以有很多復(fù)雜的情況，我們來(lái)逐個(gè)討論。

y''=f(y,y')型

這類(lèi)二階線性微分方程中沒(méi)有包含x，這類(lèi)方程可總結(jié)為：

比如

這個(gè)怎么解決？其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們只需要令y'=p

那么就有：

這個(gè)方程又可以寫(xiě)成：

這不就是一階線性微分方程嗎！我們直接積分可以解出：

所以

解出

看得出來(lái)，我們對(duì)于缺x型的二階微分方程，只需要令y'=p，然后

就可以把方程化為一階線性微分方程，然后用一階的解法就可以了。

y''=f(x,y')型

也就是缺y型，在前面已經(jīng)接觸過(guò)了，可以直接積分，也可以令y'=p,y''=p'求：

如

不能直接積分，那么就令y'=p，有：

即

可以湊微分，得到：

就有：

化簡(jiǎn)：

解出

即

分離變量，求出

其中

因此

雖然這道題結(jié)果復(fù)雜，但思路都是一樣的。下次我們來(lái)講解標(biāo)準(zhǔn)的二階線性微分方程。