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關(guān)于不變子空間的兩個(gè)問題

2023-08-29 21:21 作者:UniAbihs 0人讀過 | 我要投稿

Q1：是否所有線性算子都有真不變子空間？

想象 $F%5En$ 與它的一組基 $%5Bv_1%2Cv_2%2C...%2Cv_n%5D$ ，與線性映射 $%5Csigma$ （將 $v_i$ 映到 $v_%7Bi%2B1%7D$ ，將 $v_n$ 映到 $v_1$ ），這個(gè)映射將 $F%5En$ 映射到 $F%5En$ ，是一個(gè)線性算子。

但是不存在n的任意真子空間使得算子在其上的限制仍將該子空間映射到自身。

假設(shè)存在一個(gè)真子空間 $V%5Csubset%20F%5En$ ，使得算子 $%5Csigma%5Clvert_V$ 滿足 $%5Csigma%5Clvert_V(V)%3DV$ 。令 $V$ 的一組基為 $%5Bv_%7Bl1%7D%2Cv_%7Bl2%7D%2C...%2Cv_%7Blr%7D%5D$ ，并按照其在 $F%5En$ 的那組基中的順序排序?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Bv_%7Bs1%7D%2Cv_%7Bs2%7D%2C...%2Cv_%7Bsr%7D%5D" alt="%5Bv_%7Bs1%7D%2Cv_%7Bs2%7D%2C...%2Cv_%7Bsr%7D%5D">。則對(duì)于 $v_%7Bli%7D$ ， $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsi%7D)%5Cin%20V$ ，所以 $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsi%7D)%3Dv_%7Bs%2Ci%2B1%7D$ 。（在 $%5Bv_%7Bs1%7D%2Cv_%7Bs2%7D%2C...%2Cv_%7Bsr%7D%5D$ 中基的順序同原空間的基，所以只能 $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsi%7D)%3Dv_%7Bs%2Ci%2B1%7D$ ，或者 $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsi%7D)%5Cnotin%20V$ ）那么 $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsr%7D)%20%5Cin%20V$ ，將 $v_%7Bs1%7D%2Cv_%7Bs2%7D%2C...%2Cv_%7Bs%2Cr-1%7D$ 都經(jīng) $%5Csigma%5Clvert_V$ 操作后，只有 $v_%7Bs1%7D$ 未被映到，所以 $%5Csigma%5Clvert_V(v_%7Bsr%7D)%20%3Dv_%7Bs1%7D$ 。這種情況成立當(dāng)且僅當(dāng) $v_%7Bsr%7D%3Dv_n%EF%BC%8Cv_%7Bs1%7D%3Dv_1$ 。于是 $V%3DF%5En$ ，與假設(shè)矛盾，故而這個(gè)算子沒有真不變子空間。

Q2：真不變子空間外是什么？

取 $n$ 維空間 $V$ 中的 $r$ 個(gè)線性無關(guān)的向量，張成一個(gè)子空間 $W$ ，且算子 $%5Csigma%20$ 不將這 $r$ 個(gè)向量映射到 $W$ 外，則 $W$ 是一個(gè)不變子空間。 $W'$ 外是由 $V$ 的另外 $n-r$ 個(gè)線性無關(guān)的向量（這 $n-r$ 個(gè)向量又與 $W$ 的基向量線性無關(guān)，否則至少有一個(gè)向量在 $W$ 中，這與“另外”矛盾）張成的子空間 $W'$ ，則 $W'$ 也是一個(gè)不變子空間。所以 $V%20%5Cbackslash%20W$ 仍是 $%5Csigma$ 的不變子空間。因?yàn)槿稳蓚€(gè)子空間的一組基的并集線性無關(guān)，且有 $n$ 個(gè)向量，所以是 $V$ 的生成元，且兩個(gè)子空間的交是零空間，所以 $V$ 等于這兩個(gè)子空間的直和。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可證若在 $V$ 中一個(gè)算子 $%5Csigma%20$ 有 $m$ 個(gè)不變子空間 $W_1%2CW_2%2C...%2CW_m$ ，則 $V%3DW_1%5Coplus%20W_2%5Coplus%20...%5Coplus%20W_m$ 。