叮！您訂閱的常微分方程更新啦！

簡單介紹過很多代數(shù)學的概念之后，我們現(xiàn)在已經(jīng)可以開始深入研究常微分方程的很多內(nèi)容了。上一篇專欄里我們研究了特征根為單根的常系數(shù)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)。那么這一次，我們接著來研究特征根含重根的常系數(shù)線性微分方程。

Chapter? Three? 常系數(shù)線性方程

3.2? 常系數(shù)齊次線性方程（重根情形）

（上一篇竟然連標題都打錯了……）

與單根相比，重根的情況變化主要體現(xiàn)在，在通解的表達式當中，出現(xiàn)了有幾個指數(shù)函數(shù)完全一致的情況，從而導致它們的系數(shù)可以合并。這使得通解的表達當中的指數(shù)函數(shù)的個數(shù)減少了。那么，此時，具有這種單純的指數(shù)函數(shù)的線性組合這一形式的解是否還能包含全部的可能解？換句話說，就是現(xiàn)在這個形式還是不是微分方程的通解？

麻煩的是，一般來講答案是否定的。我們從下面這個簡單的微分方程就可以看出來：

顯然，特征值為。如果我們認為對于單根情形的結(jié)論仍舊有效，那么它的特解應該表示成為。但是，我們又能得到：

利用常數(shù)變易法，我們能夠直接解得：

顯然，對于單根情形成立的結(jié)論此時不再成立了。所以我們就要重新尋求對于重根情形而言的通解表達式。

從上面的例子當中，我們看到，該微分方程的解由兩部分組成：

這啟發(fā)我們，或許問題的突破口在于t的來源。

而我們有提到過，對于任意兩個常系數(shù)線性微分方程的解，它們的加減仍是方程的解。所以，我們能夠得到：

也是該方程的解。（常數(shù)為方程的特征根。）

當我們讓這兩個特征值不斷接近的時候，特征方程的單根就會變?yōu)橹馗?。此時，我們得到了：

那么，這個極限函數(shù)應該也是微分方程的解。這恰好與我們解出來的結(jié)果一致。

如果某個特征根是特征方程的三重根，那么就應該有三個單根不斷接近。這個時候，我們可以構(gòu)造解：

為了簡便起見，我們令：

于是我們得到：

（略去了計算過程，但實際上不難證明這是一個關(guān)于λ的二階導數(shù)。）

于是我們就猜測，對于k重根而言，屬于該重根的基本解為：

所以通解的可能形式為：

接下來的研究思路還是一樣的。首先要研究一下，這一形式是否確為通解（這一形式確為解，且所有的解都能被表示為這種形式）；接著，我們來研究解的性質(zhì)，比如復合之類的。

如果我們所給出的形式確實是微分方程的解，那么對于該形式的解是否為通解，我們顯然依舊可以通過解線性方程組的方式，利用代數(shù)學的基本理論給出肯定答案。于是，現(xiàn)在我們需要考慮的是，是否確實這樣的表達式確為方程的解呢？

顯然，依據(jù)定義，我們應該要驗證：

考慮到微分算子的遞推關(guān)系：

這提醒我們可以使用歸納法證明結(jié)論。事實上，當l=1時，有：

l=2時，有：

不難歸納出以下結(jié)論：

我們接下來只要證明：

即可證明該結(jié)論。

顯然：

這就完成了證明。

更一般的情況是：

將換成一般的滿足條件的函數(shù)，就有：

這稱為平移公式。

有了平移公式，我們就能夠很容易地得到：

也就是：

考慮到是微分方程的k重特征根，于是應該有：

于是就有：

由于，于是顯然就有：

于是我們就證明了：

確實為微分方程的解。至于是否是通解，我們已經(jīng)給出說明了。

思考：

1. 解微分方程：

   （1）；

   （2）；

2. 試探究方程的解為實值解時的充分必要條件。?

最後の最後に、ありがとうございました！?