在本節(jié)中，我們將了解特征向量和特征值，以及它們的幾個(gè)性質(zhì)。如果我們把矩陣A作用于向量v 得到A*v看成對(duì)向量v作了一種操作（例如，旋轉(zhuǎn)，拉伸等), 則特征值和特征向量說(shuō)明了Av在幾何上如何與v相關(guān)，線性代數(shù)課程將進(jìn)一步討論幾何上如何聯(lián)系，因此我們現(xiàn)在重點(diǎn)討論代數(shù)定義。
定義: 對(duì)于方陣A, 如果一個(gè)非零向量v，使得對(duì)于某些λ∈R，A*v=λ*v, 則v稱為A的特征向量,
數(shù)λ被稱為與特征向量v相關(guān)的特征值。
例:
A=[1 1;? 2 0] 有兩個(gè)特征向量：v1=[?1; 2] 和v_2= [1; 1]。相應(yīng)的特征值λ1=-1和λ2=2。
[ 1 1 ; 2 0]* [-1; 2] = λ1 * [-1; 2]
[ 1 1 ; 2 0]* [1; 1] =? λ2 * [-1; 2]

特征向量和特征值的性質(zhì)

1. 如果v是與特征值λ相關(guān)的特征向量，那么對(duì)于任何非零α∈R，αv也是與λ相關(guān)的本征向量。
?上面的命題說(shuō)，由于本征向量可以是任何長(zhǎng)度，所以它們可以僅通過(guò)方向來(lái)表征。
?例如，[0.5; ?1] 與前例中的[?1; 2] 是相同特征值λ1=-1的特征向量。

2. 假設(shè)A是形式為A=diag([d_1, ..., d_n])的對(duì)角矩陣, 那么我們很容易確定
A 的所有的特征值是 d_1, ..., d_n ， 相應(yīng)的特征值向量是 e1=[1; 0; ...; 0],
e2 = [ 0; 1; ... ; 0 ] , ... e_n = [0; 0; ...; 1].
顯然 [e1, e2, ... en] 構(gòu)成了n階單位矩陣 I.
所以，我們可以會(huì)所對(duì)角線矩陣的特征值簡(jiǎn)單地說(shuō)就是對(duì)角線上的元素，相應(yīng)的特征向量
是單位矩陣的相應(yīng)列。

求解A*v=λ*v等于求解A*v?λ*v=0或A*v?I*λ*v=0，其中I是適當(dāng)大小的單位矩陣。
然后我們可以將v提出來(lái)，使得（A?λ*I)*v=0。解必須是非零的，因?yàn)樘卣飨蛄坎荒苁橇恪?br>這里當(dāng)然考慮的A是一個(gè)方陣，此時(shí)（A?λ*I）v=0 的充分必要條件是 det（A?λ*I）=0。
這就給我們提供了一個(gè)求解A的特征值的方法，就是去求解? det（A?λ*I）=0.

在北太天元中，我們使用內(nèi)置命令 eig 來(lái)求特征值和特征向量
?>> A=[1 1;? 2 0]
A =
? 2x2 double
?? 1?? 1
?? 2?? 0
>> [v,d] = eig(A)
v =
? 2x2 double
??? 0.7071?? -0.4472
??? 0.7071??? 0.8944
d =
? 2x2 double
?? 2?? 0
?? 0? -1
eig的返回第一個(gè)參數(shù)v 保存的A的特征向量，d 是一個(gè)由A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣
我們可以驗(yàn)證
A*v(:,1) 和 d(1,1)*v(:,1) 是相等的，這驗(yàn)證了
v的第一列 v(:,1) 是 A 的相應(yīng)于特征值d(1,1) 的特征向量.
實(shí)際上，我們有
A*v = v*d
Input [8] >> A*v
ans =
? 2x2 double
??? 1.4142??? 0.4472
??? 1.4142?? -0.8944
Input [9] >> v*d
ans =
? 2x2 double
??? 1.4142??? 0.4472
??? 1.4142?? -0.8944
進(jìn)一步的我們?cè)?A*v = v*d 的兩邊同時(shí)右乘以v的逆inv(v) , 我們就得到
A*v*inv(v) = v*d* inv(v)
利用 v*inv(v) = I, 以及A*I = A, 我們就得到
A = v*d*inv(v)
上面的式子就稱為矩陣A的特征分解 (eigen decompostion).
當(dāng)然，并不是每一個(gè)矩陣A都存在特征分解，例如
A = [ 0 1; 0 0 ]
Input [10] >> A = [ 0 1 ; 0 0 ]
A =
? 2x2 double
?? 0?? 1
?? 0?? 0
Input [11] >> [v,d] = eig(A)
v =
? 2x2 double
??? 1.0000?? -1.0000
??? 0.0000??? 0.0000
d =
? 2x2 double
?? 0?? 0
?? 0?? 0
我們可以看到北太天元計(jì)算返回的特征向量組成的矩陣不是逆的，
我們也可以利用北太天元的內(nèi)置命令det(v)來(lái)計(jì)算 v 的行列式
Input [12] >> det(v)
ans =
? 1x1 double
?? 0

但是一旦我們發(fā)現(xiàn)能夠得到矩陣A 的特征值分解，就會(huì)對(duì)我們有很大的幫助。
我舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。
例如
x_0 = [ 1 ; 1 ] ;
x_{n+1} = A * x_{n} , n = 0 , 1, 2, ... ?
其中 A = [ 1 1 ; 2 0 ]

我們知道 x_1 = A * x_0, x_2 = A * x_1 = A * ( A * x_0) = A * A * x_0 = A^2 x_0
如此遞推，我們知道
x_{n+1} = A^n * x_0
其中 A^n 是 n個(gè)矩陣A相乘,
?? ?Input [15] >> A = [ 1 1 ; 2? 0 ]
A =
? 2x2 double
?? 1?? 1
?? 2?? 0
Input [16] >> A*A
ans =
? 2x2 double
?? 3?? 1
?? 2?? 2
Input [17] >> A*A*A
ans =
? 2x2 double
?? 5?? 3
?? 6?? 2
我們計(jì)算來(lái)A^2, A^3 ，發(fā)現(xiàn)很難找到規(guī)律， 但是我們知道了矩陣
A = v * d * inv(v)
那么
A^2 = v * d * inv(v) * v * d * inv(v) = v * d^2 * inv(v) ?
按照這個(gè)樣子
A^n = v * d^n * inv(v) ?
而對(duì)角矩陣d的n次方是非常好計(jì)算的 d^n? 還是對(duì)角矩陣，對(duì)角線由d的對(duì)角線元素的n次方
構(gòu)成。
利用上面的分析，我們就可以得到上的遞推關(guān)系式給出的數(shù)列的通項(xiàng)表達(dá)式
x_{n+1} = v * d^n * inv(v) * x_{0}

上面選擇的特征向量構(gòu)成的矩陣不是唯一的，例如，我們就可以用

Input [39] >> V
V =
? 2x2 double
????? -1????????????? 1
?????? 2????????????? 1
Input [40] >> inv(V)
ans =
? 2x2 double
????? -1/3??????????? 1/3
?????? 2/3??????????? 1/3

d = diag ([ -1, 2]);