音律中的數學
話題：#數學# #音樂#?
小石頭/文?
簡諧震動，其產生的波也是最簡單的波稱為 簡諧波
圖中，質量為m滑塊在光滑的水平面上來回震動，t 時刻滑塊處于 y(t) 位置，根據，
牛頓第二運動定律：物體加速度的大小跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，且 加速度的方向跟作用力的方向相同；
有，
設 滑塊在 0 ?位置 彈簧處于松弛（既沒有擠壓也沒有拉伸）狀態(tài)，根據，
胡可定理：在彈性限度內，彈簧所受的拉力與形變量成正比；
又有，
其中 k > 0 稱為 彈性系數
這樣以來就得到，
令，c = √(k/m) ，則有，
這是一個齊二階線性微分方程，由 sin't = cos t 和 cos't = -sin t ?有，
知，
線性微分方程通解定理
其中 a 和 b 是任意常數。然后，根據 初始條件 y(0) 和 y'(0) 可確定，
勾股定理
知道，總是存在 A ?> 0 ?和 φ 使得，
于是有，
和角公式
最終，可得到，
這說明，最簡單的波 是一個 正弦函數，其中 A 稱為 振幅， φ 稱為 相位，c 稱為 自然頻率， c/2π 為頻率， 2π/c 為 周期。
自然界中，有些聲音聽著讓人不舒服，比如：馬路上的噪聲，而有些聲音卻讓人愉悅，比如：琴弦上發(fā)出的樂音，我們不禁會問：為什么樂音讓人愉悅呢？為了搞清楚這個問題，需要 進一步 分析 琴弦 的具體波動情況。
不妨設，長度為 L 的 琴弦 水平放置如下，
對于其上任意一點 x ，因為 琴弦是繃緊的，所以 我們 忽略 x 左右震動 產生的 橫波，只考慮 x 上下震動 產生的 縱波，可設 y(x, t) 為 x 點 在 t 時刻 的 豎直 位置，又設 琴弦的 質量是 m 并且是 質量均勻的，于是 琴弦的 密度為：
再 在琴弦上，取以 x 為起點的 長度為 h 的微元，則 該微元 的 質量就是 hρ，由于 微元 非常小，于是可認為 x 就是微元的位置，于是，根據 牛頓第二定理有，
設 T? 和 T? 分別為微元兩端的張力大小，于是 微元在 數值方向的 所受的力為，
由于 琴弦繃的足夠緊，我們設定：
琴弦上的張力大小處處相等 都是 T；
角度 ɑ? 和 ɑ? 非常小，使得 sin ɑ? ≈ tan ɑ? = ?y(x, t)/?x，sin ɑ? ≈ tan ɑ? = ?y(x+h, t)/?x；
于是有，
與前式聯立有，
等式兩邊對 微元 取極限 有，
波動方程
這是一個 二階偏微分方程，觀察發(fā)現微分變量 t 和 x 分屬于 等號兩側，這樣 如果 y(x, t) 是變量分離的，即，
則代入方程有，
于是得到，
等號兩邊是不相關的不同變量的函數，它們相等的唯一可能就是二者都是常函數，不妨設為 -k2，既有，
于是得到，
這就是前面的齊二階線性微分方程，它們的解分別是：
由于琴弦的兩頭是固定的，于是有 ψ(0) = ψ(L) = 0， 進而有，
此時 q ≠ 0 ，否則 ?ψ(x) = 0 進而 y(x, t) = 0 ，矛盾，而又有，
故只能是，
于是，
進而，
考慮到 時間為 正，故 n 取所有 正整數，這樣就得到偏微分方程的所有特解為：
又觀察到，
若 F(x, t) ?和 G(x, t) 是 偏微分方程，則 F(x, t) + G(x, t) 也是 偏微分方程 的解；
于是微分方程有解（其實也是通解），
對其中任意一點x來說，震動波為：
可見 琴弦上沒一點的震動波 都是由 頻率 分別是 f ?的正整數倍數的 正弦波 組成，而不是任意頻率的雜亂疊加，因此這才聽起來 讓人愉悅。也就是說：
悅耳的聲音是由 頻率 成整數比例的正弦波疊加而成的；☆
這些波稱為諧波。其中 n=1 的 諧波 稱為 基音 琴弦的主音，其頻率是（頻率公式），
音樂不是單獨的音，而是多種不同的音的組合，所以我們需要挑選一些音符用來構成音樂。
根據以面結論☆，除了1:1 自己和自己 絕對和諧外，諧波的最小比就是1:2了，于是??：
這樣就得到了 一條 相隔 純八度 的音列，例如：若 令 f 是 do 則 2f 就是 高音do，f/2 就是 低音do。
當然，這個音列不可能 無限延申，根據物理實驗，人可以聽到的聲音范圍 20Hz 到 20KHz，而 由 log? 20000 - log? 20 ≈ 9.96 知 這個音列最多只能有 10 個音，這遠遠不夠 音樂演奏的需求，于是我們需要對每個純八度再進行分割，分出更多的樂音來。
為此，利用更大一些的諧音比 1:3，可得音列：
對其中每一個音，可再次使用諧音比是1:2 得到一個序列：
再在每個序列中，取頻率在 f 到 2f 之間的音，得到，
這些音由于是間接上的諧波，所以組合在一起聽起依然悅耳！
當然我們也不能無限的 對 f 到 2f 進行細分，于是 需要讓上面的序列 周期重復，恰好當算到第12項時發(fā)現，
也就是說，
于是 將 312f/21? 改為 312f/21? 并視作 2f，并將前12項 按照從小到大排列??：
半音
發(fā)現 比例只有 3?/211 和 2?/3? ，而 3?/211 ≈1.068≈1.053≈2?/3?，所以，上面的音列，基本上可視為 等比序列。
這就是 五度相生律 ?的 數學原理。其中，3f/2 大概在 5/8 的 地方，所以 從 f 到 3f/2 稱為 純五度，這是五度相生律得名由來。
上面 在分割 八度 時，只利用了1:2 與 1:3 ?的諧波組合，由 f 得到：
純八度： 2f
純五度： 3f/2
可是，實際上，還有更多的 諧波組合：
純四度：4f/3
大三度：5f/4
小三度：6f/5
大六度：5f/3
小六度：8f/5
以這些音為主干，再插入5個音，讓其近似等比序列，得到??：
純律。
不管是 五度相生律 還是 純律，半音之間的比都不是 完全相等的，這導致 樂曲 轉調后 音高關系 變形，為了解決這個問題，最后干脆將 f 到 2f 絕對（對數意義下）平均等分 為 12份，即??：
這稱為 十二平均律，也就是當今使用的音律了。
這里需要注意：現在所謂，音差，等分, ... 都是 對數意義下的，實際指的是，音比，等比，...那么，為什么要 這樣叫呢？因為：由于，頻率比例表示不方便，后來人們令 log?(2f/f) ＝1200，這樣 log? r＝100 ，于是十二平均律可表示為（令 f = 1）：0，100，200，...， 1100，1200這樣就方便多了。
在實際應用中，不管采用哪種音律，音律的結構都是差不多的，都是：
先將整個音程分為八度組，然后將每個八度組再分為12個音；
所不同的是這些音對應的實際頻率略有差別，下面 以十二平均律為例，具體如下：
首先，由 人的 聽力范圍 ?20Hz 到 20KHz，可計算出，
于是，中央頻率為：
這應該 對應 中央八度 f? 到 2f? 的 中間音 r?f? = (12√2)?f? = √2f? ?，于是可以算出，
然后，就是需要標識音符，以鋼琴為例，我們用 英文字母 a, b, c, d, e, f, g ?分別表示 八度中的 前 7 個，用上標表示八度組的組號，最中間的中央八度規(guī)定為第1組，于是 整個音程 可標識為，
為了書寫方便，對低于中央八度的組，進行如下調整，
用大小字母和下標，重新表示 負上標音符，即，x?? ?→ X???；
標號0省略不寫，即，x? →x，X? → X；
調整后得到，
由上面的計算知 a1 = f? ≈ 445.5 Hz，為了計算簡單，我們規(guī)定 中央A 為：
最后，音符最終要被制造成樂器的，前面 琴弦主音 的 頻率公式 告訴我們：
當頻率升高時，弦長就要縮短；
琴弦做長簡單但是做短難，例如：
中型立式鋼琴最高音 c? 僅僅只有 5cm 長，而 c? 的頻率 440×23×(12√2)2 ≈ 3951Hz 距離 2KHz 還有很遠。
除了，工藝上高音的限制外，過高的音也比較刺耳，聽著并不好聽，因此實際 樂音八度分組 是向低音 偏移的，大概會偏移 五度左右，也就是說，低八度組的后面五個音，會被劃歸高八度組，于是得到：
這樣八度組的音符排序就變?yōu)椋?/p>
注：分別唱為 do, re, mi, fa, sol, la, si/xi，簡譜記為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。
這樣 5個音符 插入如下，
這樣算下來，中央C 的 頻率為，
現在，鋼琴的實際分組如下：
注：有多種標記音符的方法，這里只介紹了其中一種。
我國早在春秋中期 時期就發(fā)現了 五度相生律，稱為三分損益法 在 《國語》、《管子》、《呂氏春秋》中 均有描述，方法如下：
設 弦長為 L（頻率 f），稱為 宮；
對 宮 “三分損一”（分三份去掉一份，原來的2/3）得到 弦長 2L/3（頻率 3f/2），稱為 徵；
對 徵 “三分益一”（分三份增加一份，原來的22/3）得到 弦長 23L/32（頻率 32f/23），稱為 商；
對 商 “三分損一” 得到 弦長 2?L/33（頻率 33f/2?），稱為 羽；
對 羽 “三分益一” 得到 弦長 2?L/3?（頻率 3?f/2?），稱為 角；
將其按照頻率大小排列，并和 前面的五度相生律原理中的序列，以及八度的7個音，比較得到：
f（宮c），3?f/211（#c），32f/23（商d），3?f/21?(#d)，3?f/2?（角e），311f/21?（f），3?f/2?，3f/2（徵g），3?f/212（#g)，33f/2?（羽a），31?f/21?（#a)，3?f/2?(b)，312f/21?≈2f（高音 宮1）
實際使用時，我國古人 將 琴弦 分為 九九八十一 份，則：
宮 ?81 份， 徵 ?81 × 2/3 = 54 份，商 ?54 × 22/3 = 72 份，羽 72 × 2/3 = 48 份, ?角 48 × 22/3 = 64 份
這樣 很簡單 就得到了 宮商角徵羽 五個音的 琴弦了。
五音畢竟有些單調，漢唐時期又將其擴充為 12 個音，分別命名為：
黃鐘（宮c），林鐘（徵g），太簇（商d），南呂（羽a），姑冼（角e），應鐘（b），蕤賓（#f）；大呂（#c），夷則（#g），夾鐘（#d），無射（#a），仲呂（f）
從 ?3?f/2?（角）接著繼續(xù)，
再 “三分損一” 就是 3?f/2? （應鐘b）；
再 “三分益一” 就是 3?f/2? （蕤賓#f）；
然后繼續(xù)，
再 “三分益一” 就是 3?f/211（大呂#c）；
再 “三分損一” 就是 3?f/212（夷則#g）；
再 “三分益一” 就是 3?f/21?（夾鐘#d）；
再 “三分損一” 就是 31?f/21?（無射#a）；
再 “三分益一” 就是 311f/21?（仲呂f）；
再 “三分損一” 就是 312f/21?≈2f （清黃鐘）；
這樣就生成了上面的全部12個音。
比我國稍晚，古希臘的畢達哥拉斯也發(fā)現了 五度相生律，不同它的生成方法有些許區(qū)別：
開始部分和 三分損益法一樣（利用 f, 3f, 32f, ... 序列）從 c 生成到 #f 得到 7 個音，然后轉向（利用 ..., f/32, f/3, f 序列）生成 另外 的 7 個音，具體方法如下，
與前面的原理類似，利用 1:2 關系，將 ?f, f/3, f/32, ... 調整到 f 和 2f 之間，得到：
因為 21?f/3? ≈1.40f ≈ 1.42f ≈ 3?f/2? ?所以看作一個音，從而 完成序列的循環(huán)閉環(huán)。對應操作為，
對 原始琴弦 L（頻率 f） 進行 “四分損一”（即 原來的3/4）得到 弦長 3L/22 （頻率 22f/3）≈（仲呂f）；
再 進行 “四分損一” 得到 得到 弦長 32L/2? （頻率 2?f/32）≈（無射#a）；
再 進行 “二分益一”（即 原來的 3/2）得到 得到 弦長 33L/2? （頻率 2?f/33）≈（夾鐘#d）；
再 進行 “四分損一” 得到 得到 弦長 3?L/2? （頻率 2?f/3?）≈（夷則#g）；
再 進行 “二分益一” 得到 得到 弦長 3?L/2? （頻率 2?f/3?）≈（大呂#c）；
再 進行 “四分損一” 得到 得到 弦長 3?L/21? （頻率 21?f/3?）≈（蕤賓#f）；
這樣也就生成了12個音。
再到了明朝，律圣 朱載堉 創(chuàng)建 了 十二平均律，之后傳到 歐洲 被 巴赫 和 貝多芬 等音樂家廣泛使用，最后成了現在的主要音律。
（好了，就寫這么多吧！小石頭這時第一次在B站發(fā)表正式的專欄文章，難免有出錯的地方，歡迎各位大佬指出?。?/p>
附錄 A
第一個齊二階線性微分方程，也可以這樣解：
利用 (e?)' = e?，設 y(t) = e?? 代入方程得到 ，
由于 e?? ≠ 0 ，故 x2 + c2 = 0 ，而 c > 0，于是有 x = ±ic，這樣就 得到了 微分方程的兩個線性無關解，
線性微分方程通解定理
歐拉公式
有，
若 令 a = c? + c?, b = (c? - c?)i，則有，
附錄 B
受前面琴弦波動方程推導過程的啟發(fā)，我們有：
由，
有，
，代入上式，并利用 - h →?0 ? h → 0
即得到，
附錄 C
中 找循環(huán)時，我們用的是用算的方法，但其實也可以更數學一些，實際上，我們只需要尋找 自然數 n 和 m 使得：
也就是，
即可。由于等號右邊 log?3 是無理數，所以左邊的有理數只能逼近。由 log?3 ≈ 1.5849625，我們可以將右邊 化成連分數：
這樣就得到 log?3 的 有理數逼近序列，
除了 1 對應 第0項 f 不算，選擇 19/12 是第一個對應序列中 ?第12項 ? 312f/21? 的，所以就選它了。
【END】
