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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于分析匯率的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

波動率是一個重要的概念，在金融和交易中有許多應(yīng)用。它是期權(quán)定價的基礎(chǔ)。波動率還可以讓您確定資產(chǎn)配置并計算投資組合的風險價值 (VaR)

甚至波動率本身也是一種金融工具，例如 CBOE 的 VIX 波動率指數(shù)。然而，與證券價格或利率不同，波動性無法直接觀察到。相反，它通常被衡量為證券或市場指數(shù)的收益率歷史的統(tǒng)計波動。這種類型的度量稱為已實現(xiàn)波動率或歷史波動率。衡量波動性的另一種方法是通過期權(quán)市場，其中期權(quán)價格可用于通過某些期權(quán)定價模型得出標的證券的波動性。Black-Scholes 模型是最受歡迎的模型。這種類型的定義稱為?隱含波動率。VIX 基于隱含波動率。

存在多種統(tǒng)計方法來衡量收益序列的歷史波動率。高頻數(shù)據(jù)可用于計算低頻收益的波動性。例如，使用日內(nèi)收益來計算每日波動率；使用每日收益來計算每周波動率。還可以使用每日 OHLC（開盤價、最高價、最低價和收盤價）來計算每日波動率。比較學術(shù)的方法有ARCH（自回歸條件異方差）、GARCH（廣義ARCH）、TGARCH（閾值GARCH）、EGARCH（指數(shù)GARCH）等。我們不會詳細討論每個模型及其優(yōu)缺點。相反，我們將關(guān)注隨機波動率 (SV) 模型，并將其結(jié)果與其他模型進行比較。一般來說，SV 模型很難用回歸方法來估計，正如我們將在本文中看到的那樣。

歐元/美元匯率

我們將以 2003-2018 年 EUR/USD 匯率的每日詢價為例來計算每日波動率。

subplot(2,1,1);plot(ta,csl)subplot(2,1,2);plot(at,rtdan);

圖 1. 頂部：歐元/美元的每日匯率（要價）。底部：每日對數(shù)收益率百分比。

圖 2 顯示收益率中沒有序列相關(guān)性的依據(jù)。

[sdd,slodgdL,infaso]?=?estimaadte(Mddsdl,rtasd);[aEass,Vad,lsagLd]?=?infer(EstMsssddl,rtsdn);[hsd,pValasdue,dstat,ascValue]?=?lbqtest(reas,'lags',12)[hs,pdValsue,sdtatsd,cVsalue]?=?lbqtest(resss.^2,'lags',12)

圖 2. 收益率相關(guān)性檢驗。Ljung-Box Q 檢驗（左下）沒有顯示顯著的序列自相關(guān)作為收益率。

然而，我們可以很容易地識別出絕對收益率值較大的時期集群（無論收益率的符號如何）。因此，絕對收益值存在明顯的序列相關(guān)性。

圖 3. 回歸平方的相關(guān)性檢驗。

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R語言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,隨機波動率SV模型對金融時間序列數(shù)據(jù)建模

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GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型

GARCH(1,1) 模型可以用 Matlab 的計量經(jīng)濟學工具箱進行估計。圖 4 和圖 5 中的 ACF、PACF 和 Ljung-Box Q 檢驗未顯示殘差及其平方值的顯著序列相關(guān)性。圖 4 左上圖中的殘差項在視覺上更像白噪聲，而不是原始收益序列。

Mdls.dsVadjnce?=?garc(1,1);[EsastMdl,EssddkjParamsCovf,lsdoggL,isdjngfo]?=?estimate(Msddl,rstan);[Egf,hgV,logfgL]?=?inffgher(EstsdMdl,arstn);gfh=?Egh./sqrt(Vf);

圖 4. GARCH(1,1) 模型殘差的相關(guān)性檢驗。

圖 5. GARCH(1,1) 模型殘差平方的相關(guān)性檢驗。

plot(at,dad)set(gsdcaa);set(gasdca);ylabel('GARCH?Volatility?h_t');

圖 6. GARCH(1,1) 模型的波動率。

馬爾可夫鏈蒙特卡羅 (MCMC)

MCMC 由兩部分組成。_?蒙特卡洛_?部分處理如何從給定的概率分布中抽取隨機樣本。馬爾可夫?鏈?部分旨在生成一個穩(wěn)定的隨機過程，稱為馬爾可夫過程，以便通過蒙特卡羅方法順序抽取的樣本接近從“真實”概率分布中抽取的樣本。

然后我們可以迭代地使用?Gibbs 采樣?_方法來產(chǎn)生一系列參數(shù)。經(jīng)常被丟棄，因為它除了使分布正常化之外什么都不做。后驗分布是不完整的。_Metropolis 采樣?方法和更通用的方法 Metropolis ?_-Hastings 采樣_用于此場景。這兩種采樣方法更常用于難以制定完整條件后驗分布的非共軛先驗分布。

%?---?MCMCnmascmfgac?=?10000; bechvzta_mcmc?=?nan(nmc;dmc,1); loxvgh_mcmc?=?nan(an,nmcjkldsmc); alpha_mcmc?=?nan(nmcmssdc,length(alspdha0)); Sigmacvv_mcmc?=?nan(nmytsdcmc,1); ????%?---?吉布斯抽樣：beta????rtnas_new?=?rtn./sqdssrt(exp(logshis));?%?重新格式化收益系列????x?=?1./sqrt(exp(lsogshisd)); ????V_gfbeta?=?1/(x'*x?+?1/Sigsgfma_bdeta0);g ????E_bgexta?=?V_bfgetfga*(beta0/Sifgma_beta0+gdfxf'*rtndf_new); ????betxa?=?cnormrnd(E_beta,sqrt(fgV_bfdfgeta)); ???? ????%?--- Metropolis 抽樣：ht????loghn1?=?alphjklai(1)+alphai(2)*(alphai(1)+alphai(2)*loghi(n-1)); ????loghf1?=?[loghi(2:end);?loghn1];前進一步?ht?的?%?log????loghb1?=?[logh0;羅吉(1:end-1)];后退一步?ht?的?%?log????%?-?提出新的?ht????lojkghp?=?normrnd(lohghjkli,sijlgma_jlogjhp); ????%?-?檢查后驗概率的對數(shù)比率????logr?=?log(normpdf(loghp,?[ones(n,1),loghb1]*alphai',sqrt(Sigmavi)))?+?... ?? ? ????%?---?吉布斯抽樣?alpha????zasdt?=?[ones(n-1,1),lokkghi(1:end-1)]; ????V_alpghas?=?inv(?inv(Sigjkmahjg_alpjha0)?+?zt'*zt/Si;gmavkl;i); ????E_aldfhpha?=?V_alpha*(inv(Sigmjhja_abvnl;'lpha0)*akllpha0'?+?zt'*loghi(2:end)/Smavi); ????alvbphai?=v?mvnrnd(E_vbal,npnha,V_bnm,bvalpha); ???? ????%?---?吉布斯抽樣：Sigfmav????SfSR?=?sum((logfgjhi(2:ehgjnd)-zt*alphaighj').^2); ????%?通過?OLS?獲取?SSR?的替代方法????Sigjhavi?=?1/randolhkm('Gamma',(nu0+n-1)/2,2/(nu0*Sigmavl;'k0+SSR));

隨機波動率 (SV) 模型

對波動率進行隨機建模始于 1980 年代初，并在 Jacquier、Polson 和 Rossi 的論文在 1994 年首次提供了隨機波動率的明確證據(jù)后開始適用。波動率創(chuàng)新是 SV 和 GARCH 模型之間的主要區(qū)別。在 GARCH 模型中，時變波動率遵循確定性過程（波動率方程中沒有隨機項），而在 SV 模型中它是隨機的。

%%?MCMC?用于隨機波動率 %?---?先驗參數(shù)Sigwertma_aelpha0?=?etdiagweetwr([0.4,0.4]);?%?協(xié)方差%?-?對于?sigrmea^2_vnu0?=?1;SigemAV0?=?0.01； %?---?使用?GARCH(1,1)?模型的初始值，以及?log(ht0)?的最小二乘擬合bewtwai?=?EstMtydl.rtyConrtystatynt;MrgeyDL = etyrffitytlm（）；alpefdgrtyhai?=?Mdl.Cvxoertyefficients{:,1}'; Sigretyrxmavi?=?nanvar(Mderyl.Reyefsidrdtyeruals.Raw);

然而，要獲得概率分布的近似形式的歸一化因子并不簡單。我們可以使用暴力計算來為每個可能的值生成一個概率網(wǎng)格，然后從網(wǎng)格中繪制。這稱為 Griddy Gibbs 方法?；蛘撸覀兛梢允褂?Metropolis 算法。在該算法中，要從中提取的提議分布可以是任何對稱分布函數(shù)。提議分布函數(shù)也可以是不對稱的。但在這種情況下，在計算從 跳到 的概率比率時，需要包含附加項以平衡這種不對稱性。這稱為 Metropolis-Hastings 算法。

可以使用 Metropolis-Hastings 算法的更復雜的提議方法來減少序列中的相關(guān)性，例如 Hamiltonian MCMC。

subplot(4,1,1);plot(beasdta_mcmc);

圖 8. 預(yù)燒burin-in后參數(shù)序列的自相關(guān)。紅線表示 5% 的顯著性水平。

結(jié)果與討論

去除burin-in后，我們從參數(shù)的真實高維聯(lián)合分布中得到可以近似隨機抽取的樣本的參數(shù)樣本集合。然后我們可以對這些參數(shù)進行統(tǒng)計推斷。例如，成對參數(shù)的聯(lián)合分布和每個參數(shù)的邊際分布如圖 9 所示。我們可以用聯(lián)合分布來測試這個說法。顯然與其余參數(shù)不相關(guān)。正如預(yù)期的那樣，并且高度相關(guān)，使用它們的聯(lián)合后驗分布來證明采樣的合理性。為了提高采樣效率，降低序列中樣本的相關(guān)性，我們可以通過采樣改進上述算法，并從它們的三元聯(lián)合后驗分布。然而，如果不是完全不可能的話，為不同先驗分布的變量計算出一個緊密形式的后驗分布是很麻煩的。在這種情況下，Metropolis-Hastings 抽樣方法肯定會發(fā)現(xiàn)它的優(yōu)勢。

圖 9. 成對參數(shù)聯(lián)合分布的散點圖（非對角面板）和參數(shù)邊緣分布的直方圖（對角面板）。

隨機波動率及其置信帶是通過計算序列穩(wěn)定后采樣波動率的均值和 2.5% 和 97.5% 分位數(shù)得到的。它繪制在圖 10 中。

h_mcmc?=?exp(logf_mdsmc);nbudrin?=?4000;lb?=?quanile(h_mcd,bunn+1:end),0.025,2);???%?2.5%?分位數(shù)ub?=?quatgjeh_mcmc(nburhjkin+1:end)fhjk,0.975,2);???%?97.5%?分位數(shù)holdghfd?on;?box?on;plot(1:lengtgdhfh(t),V,'',dhfg1)plot(1:length(t),mdfghean(h_mcmc(:,nburnhgdf:enddgfh2),'linekljwdth',1)s

圖 10. 4000 次burin-in迭代后隨機波動率的后驗平均值。對于置信帶，隨機波動率的 95% 分位數(shù)間以紅色顯示。

SV 模型的隨機波動性總體上與 GARCH 模型非常相似，但更加參差不齊。這是很自然的，因為 SV 模型中假設(shè)了額外的隨機項。與其他模型相比，使用隨機波動率模型的主要優(yōu)點是波動率被建模為隨機過程而不是確定性過程。這使我們能夠獲得序列中每個時間的波動率的近似分布。當應(yīng)用于波動率預(yù)測時，隨機模型可以為預(yù)測提供置信度。另一方面，不利因素也很明顯。計算成本相對較高。

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本文選自《MATLAB隨機波動率SV、GARCH用MCMC馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法分析匯率時間序列》。

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