Abaqus/Standard應(yīng)用Newton-Raphson算法解決非線性問題，木木本期就為同學們“盡可能”全面講解該算法，從Abaqus內(nèi)部算法到數(shù)學問題中的非線性方程Newton-Raphson算法理論，最后結(jié)合具體非線性方程給出相應(yīng)的代碼，如此一來，更加生動地演繹Newton-Raphson迭代過程。

Abaqusd的Newton-Raphson算法

在Abaqus隱式求解時，將載荷劃分為一定數(shù)量的增量步(increments)施加于結(jié)構(gòu)，每個增量步結(jié)束時尋求近似平衡解，若干次迭代后才能獲得最終平衡解。Abaqus/Standard組合了上述增量和迭代過程。

Abaqus/Explicit中，默認情況下時間增量步大小完全是自動選取。在求解非線性問題時，不需要形成切線剛度矩陣，需要的是一個小小的增量步，只依賴與模型的高階自振頻率，與載荷類型和加載時間無關(guān)，無需迭代即可獲得解答。

增量步和迭代步：

Abaqus/Standard可以讓用戶指定初始增量步大小，后繼計算過程中系統(tǒng)會自動選擇增量步的大小，在每個增量步結(jié)束時，結(jié)構(gòu)處于近似的平衡狀態(tài)，將計算結(jié)果，寫入到.odb文件中。

平衡迭代和收斂：

在第一個增量步載荷中，Abaqus/Standard基于結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)形和結(jié)構(gòu)初始剛度和計算關(guān)于結(jié)構(gòu)的位移修正值，基于將結(jié)構(gòu)的構(gòu)形更新為。

在更新后的構(gòu)形，形成新的切線剛度，進而計算新的內(nèi)部作用力，總載荷與內(nèi)部作用力差值記為殘差力：

線性問題中，殘差力在模型每個自由度上均為 0 ，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。在非線性問題中，Abaqus/Standard將殘差力與設(shè)定的容許值（容許殘差）進行比較，若小于容許殘差值，則就是結(jié)構(gòu)在所施加載荷下有效的平衡構(gòu)形，除此之外，Abaqus/Standard還要檢查位移修正值是否相對于總的增量位移很小。若大于增量位移的,將進行下一次迭代。上述兩個條件都滿足后，才認為結(jié)果是收斂的。

默認的容許值在整個時間段上作用與結(jié)構(gòu)上的平均力的。在整個模擬過程中，Abaqus/Standard會自動地計算平均力。

Newton-Raphson（N-R）迭代法的原理

Newton-Raphson（N-R）迭代法主要以分步逼近的方法計算，在每一增量步中，采用已得到的位移值帶入并求得與位移有關(guān)的切線剛度矩陣的值，再進行線性計算，反復(fù)調(diào)整計算的載荷值與設(shè)定載荷值的差進行迭代，使其達到設(shè)定的精度。

主要步驟

Step 1：將總外載荷$\bar{P}$分為一系列的載荷段，?

Step 2：在每個載荷段中進行循環(huán)迭代，直到在該載荷段內(nèi)收斂。 每個迭代步中剛度方程為： ?式中的表示第個載荷步。

Step 3：將所有載荷段循環(huán)迭代，并將結(jié)果累加。

缺點：Newton-Raphson（N-R）迭代需要每次形成切線剛度矩陣，帶來比較大的計算量，這也是隱式分析相對于顯示分析計算時間大大增加的重要原因。

修正方法：在自己非線性有限元編程時，可以將上述迭代過程稍加修正，將每次迭代時的切線剛度矩陣換做初始切線剛度矩陣，并且在迭代時保持不變，即可大大減少計算量，修正方法如下圖所示：

求解非線性方程的Newton-Raphson算法

數(shù)學解釋

非線性方程的根記為?，按照牛頓迭代法：

牛頓迭代計算流程：

Newton-Raphson迭代算法：

實例詳解

例：利用Newton-Raphson算法求解函數(shù)在 3.8 附近的零點。

以上就是木木分享關(guān)于Newton-Raphson算法相關(guān)的解釋，希望對初學者對于Abaqus有進一步的理解，本文涉及的理論及代碼來自以下參考文獻，進一步了解還需要翻閱這些書籍。

參考文獻：

[1] 莊茁. ABAQUS非線性有限元分析與實例[M]. 科學出版社, 2005.

[2] 曾攀. 有限元基礎(chǔ)教程[M]. 高等教育出版社, 2009.

[3] 占海明. MATLAB數(shù)值計算實戰(zhàn)[M]. 機械工業(yè)出版社, 2017.