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最近我們被客戶要求撰寫關于ARIMAX的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

在大數(shù)據(jù)的趨勢下，我們經(jīng)常需要做預測性分析來幫助我們做決定。其中一個重要的事情是根據(jù)我們過去和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)來預測未來。這種方法我們通常被稱為預測

許多情況下都需要預測：決定是否在未來五年內再建一座發(fā)電站需要對未來的需求進行預測；安排下周呼叫中心的工作人員需要對呼叫量進行預測；儲備庫存需要對庫存需求進行預測。一個事件的可預測性取決于幾個因素，包括。

• 我們對造成這種情況的因素了解得如何。

• 有多少數(shù)據(jù)可用。

• 預測是否能影響我們試圖預測的事物。

ARIMA

差分整合自回歸移動平均模型（ARIMA）(p,d,q)是自回歸（AR）、移動平均（MA）和自回歸移動平均（ARMA）模型的擴展版本。ARIMA模型是應用于時間序列問題的模型。ARIMA將三種類型的建模過程結合到一個建模框架中。

• I：差分是用d表示的。它告訴我們在連續(xù)的觀察樣本中，被差分的序列對于原始序列的變化數(shù)量。

• AR：自回歸用p表示，它告訴我們?yōu)檫m應平穩(wěn)序列的AR過程所需的滯后期數(shù)。ACF和PACF幫助我們確定AR過程的最佳參數(shù)集。

• MA：移動平均階數(shù)用q表示。它告訴我們要回歸的序列中的誤差項的數(shù)量，以便將差分的AR過程殘差減少為白噪聲。

關于ARIMAX

ARIMAX或回歸ARIMA是ARIMA模型的一個擴展。在預測中，這種方法也涉及自變量。ARIMAX模型表示輸出時間序列由以下部分組成：自回歸（AR）部分，移動平均（MA）部分，差分整合（I）部分，以及屬于外生輸入（X）的部分。外生部分（X）反映了將外生輸入的現(xiàn)值

和過去值

包括到ARIMAX模型中。

多元回歸模型公式：

其中Y是xi預測變量的因變量，ε通常被認為是一個不相關的誤差項（即是白噪聲）。我們考慮了諸如Durbin-Watson檢驗等檢驗方法來評估ε是否有顯著的相關性。我們將在方程中用nt代替ε。誤差序列

被假定為遵循ARIMA模型。例如，如果 nt 遵循一個 ARIMA（1,1,1）模型，我們可以寫成

其中εt是一個白噪聲序列。ARIMAX模型有兩個誤差項，一個是回歸模型的誤差，我們用jt表示，另一個是ARIMA模型的誤差，我們用εt表示。只有ARIMA模型的誤差被認為是白噪聲。

實例探究

我們將使用經(jīng)濟序列數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)是一個五個季度的經(jīng)濟序列，包含以下數(shù)字變量：季度失業(yè)率、國民生產(chǎn)總值、消費、政府投資和私人投資。有161個觀測點。

季節(jié)性成分已經(jīng)從數(shù)據(jù)中去除。集中在失業(yè)率（Ut）、國民生產(chǎn)總值（Gt）和消費（Ct）上，首先對每個序列進行記錄，然后去掉線性趨勢，對數(shù)據(jù)擬合一個向量ARMA模型。也就是說，對xt=(x1t,x2t,x3t)t擬合一個向量ARMA模型，例如，x1t=log(Ut)-β0^-β1^t，其中β0^和β1^是log(Ut)對時間t的回歸的最小二乘估計。對殘差運行一套完整的診斷方法。

數(shù)據(jù)探索

grid.arrange(p1,p2,p3,ncol=2)

從圖中可以看出，國民生產(chǎn)總值和消費可以作為回歸使用。我們可以用時間、國民生產(chǎn)總值和消費來預測失業(yè)率。

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R語言ARIMA集成模型預測時間序列分析

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ARIMAX模型擬合

summary(varma)

plot(df,aes(t,res))+line(col=colpla[2])? acf_pacf(res_=?acf(x,?plot=?F) ????????????????????????,?label=?"ACF") plot(df,?aes(x=res))?+? ??histogram(aes(y=..density..)

我們的殘差在大多數(shù)情況下是正態(tài)分布的，ACF圖中沒有明顯的尖峰。Ljung-Box檢驗在5%的水平上有0.05297的p值，所以數(shù)據(jù)是獨立分布的，在任何滯后期都沒有明顯的自相關。這是一個理想的結果。

預測

我們隨機生成log(g)和log(c)的向量，作為我們預測模型的輸入值。兩個向量的長度都是8，所以我們的目標是預測未來8個季度的log(u)值。請注意，對于多個回歸因子，我們必須將這些向量合并成一個矩陣，以便我們進行預測工作。

forecast(m,x=logfc+logc?)plot(yfor）

ARIMA模型

通過使用ARIMA，我們只根據(jù)連續(xù)的時間數(shù)據(jù)來預測未來。它忽略了可能影響消費變化的其他因素。

ARIMAX優(yōu)點缺點

要使用ARIMAX模型，有幾個可能的優(yōu)點和缺點。

優(yōu)點

使用ARIMAX的好處是我們可以將回歸和時間序列部分結合在一個模型中，命名為ARIMAX。與回歸模型或ARIMA模型相比，這個模型可以優(yōu)化我們的誤差。

缺點

一個缺點是，協(xié)變量系數(shù)很難解釋。斜率的值不是xt增加1時對Yt的影響（就像回歸中那樣）。方程右側存在因變量的滯后值，這意味著斜率β只能以因變量以前的值為條件進行解釋，這很不直觀。

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本文選自《R語言使用ARIMAX預測失業(yè)率經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)》。

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