前面簡(jiǎn)單的介紹了一些簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)函數(shù)，

接下來，我們則是接著前面所講，講講將這些函數(shù)進(jìn)行處理后的函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性。

本文主要是 介紹一些題目的做法

首先了解一些基礎(chǔ)知識(shí)，

在前面，我們已經(jīng)了解到了，什么是增函數(shù)，什么是減函數(shù)。

那么現(xiàn)在在此基礎(chǔ)上，我們需要知道一些簡(jiǎn)單規(guī)則，

增函數(shù) + 增函數(shù) = 增函數(shù)

減函數(shù) + 減函數(shù) = 減函數(shù)

可以簡(jiǎn)記為

增 + 增 = 增，減 + 減 = 減

另外我們需要了解的是，

在一個(gè) 增函數(shù) 前面添加一個(gè)負(fù)號(hào)，則變成了 減函數(shù)

在一個(gè) 減函數(shù) 前面添加一個(gè)負(fù)號(hào)，則變成了 增函數(shù)

（后面簡(jiǎn)要介紹）?

那么我們又得到若干規(guī)則，如：增 - 減 = 增

但我認(rèn)為這些都是不需要記憶的，只需要記住背后的原理即可。

那么我們看看，知曉了前文的那些，怎么用呢？

不妨我們簡(jiǎn)單看看函數(shù)

?的單調(diào)性，

我們知道，函數(shù)? 在 上單調(diào)遞增，而函數(shù)??在(0，+∞)上單調(diào)遞增，從而我們利用上面的規(guī)則得到，

函數(shù)?在(0，+∞)上單調(diào)遞增，這是很顯然的（定義域由限定住了）

那么再看看我們上一講所說到的

函數(shù)?，（a>0）的單調(diào)性，

我們知道? 在?上單調(diào)遞增，而函數(shù)?，（a>0）在兩邊分段遞增，

從而對(duì)于函數(shù)?，（a>0），也是在兩邊分段遞增。

那么就到此為止了。

接下來就算是我們本節(jié)課的精髓部分了。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性！

設(shè)函數(shù)?可以表示為的形式，則稱其為一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

這樣看起來比較抽象，那么如何直觀的解釋什么叫復(fù)合函數(shù)呢？

就像前面所介紹的那樣，那些函數(shù)畢竟是我們后面無論如何都不可能接觸的！但是他們的自由組合版本，我們卻經(jīng)常見到，

比如?，等

這些看起來稍微復(fù)雜的，但實(shí)際上卻是由兩個(gè)或若干個(gè)函數(shù)組合形成的，便稱為復(fù)合函數(shù)。

例如第一個(gè)，實(shí)際上是由，其中組合而成的函數(shù)。

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，滿足一個(gè)規(guī)則，叫做

同增異減

那么什么叫 “同增異減” 呢？

他的意思是，參與復(fù)合的兩個(gè)（一般是兩個(gè)函數(shù)復(fù)合，所以這里只討論這種情況，其他的同學(xué)們不妨發(fā)散思考）函數(shù)，在區(qū)間的單調(diào)性相同時(shí)，則構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)為 增函數(shù)；如果單調(diào)性不同，則表現(xiàn)為 減函數(shù)。

那么為什么是這樣呢？我們不妨簡(jiǎn)單求證一番。

仍作上面的假設(shè)，函數(shù)?可以表示為的形式。

不妨令，利用作差

我們觀察式子，如果函數(shù)遞增，則有，也即，只有當(dāng)函數(shù)也是遞增時(shí)，整體才大于0，也即整體體現(xiàn)遞增！

其他的也是類似的，這里不再贅述。

那么至此，我們得到了一個(gè)重要性質(zhì)，同增異減。

那么繼續(xù)，看到函數(shù)，我們覺得他的單調(diào)性如何呢？

首先 對(duì)于，表現(xiàn)遞增，而，則表現(xiàn)遞減，從而很容易得到，函數(shù)表現(xiàn)遞減！

那么事實(shí)上也正是如我們所愿。

而對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，亦是如此。

那么對(duì)于函數(shù)??呢？大家也試著分析一下吧。

這里我便不再分析了，結(jié)果如圖所示。

課后習(xí)題系列！? ? ?~? ? *-*? ? ~

評(píng)注：

（2）注意討論 這次的學(xué)習(xí)的函數(shù)與上次的對(duì)勾函數(shù)，進(jìn)行分類討論與取舍