在街頭，你是否見過這樣的抽獎(jiǎng)游戲：把一個(gè)小球扔到一個(gè)布滿釘子的盒子里，小球經(jīng)過許多次與釘子的碰撞，最后掉到某個(gè)槽里，根據(jù)小球掉的位置，會(huì)給你相應(yīng)的獎(jiǎng)品。

高爾頓釘板（梅花機(jī)）

通過大量實(shí)驗(yàn)我們很容易看出：小球掉到中央附近的槽里概率大，掉到兩端的槽里概率小?？墒牵@個(gè)概率如何計(jì)算呢？

今天我們就要研究一下這個(gè)問題。它可以用中國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝提出的一個(gè)三角形解釋，我們稱之為楊輝三角。

楊輝三角

1261年，中國(guó)數(shù)學(xué)家楊輝寫成了著作《詳解九章算法》，在這本書中楊輝使用了一個(gè)數(shù)字三角形。不過，楊輝在著作中提到：早在200多年前，中國(guó)數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)提出了這個(gè)三角形，所以我們也叫它賈憲三角。在西方，直到1665年，這個(gè)三角形才由法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家帕斯卡提出，比中國(guó)晚了數(shù)百年。

楊輝三角是一個(gè)由數(shù)字構(gòu)成的無限大的三角形，它的第一行只有一個(gè)數(shù)字，第二行有兩個(gè)數(shù)字，第三行有三個(gè)數(shù)字…

我們可以非常輕松的寫出這個(gè)三角形，這是因?yàn)椋核淖笥覂蓚?cè)的數(shù)字都是1，而中間任何一個(gè)數(shù)字都等于它肩膀上兩個(gè)數(shù)字的和。如圖中的2=1+1，3=1+2，6=3+3，10=4+6…。記住這個(gè)規(guī)律，我們就可以隨心所欲的把這個(gè)三角形寫到任意一行。

這個(gè)三角形有什么神奇之處呢？

我們首先把每一行的數(shù)字加起來，第一行的數(shù)字是1，第二行的數(shù)字和是2，第三行的數(shù)字和是4，第四行的數(shù)字和是8, 第五行的數(shù)字和是16,…?

大家是否發(fā)現(xiàn)規(guī)律了？每一行的數(shù)字和都是2的整數(shù)次冪：第N行的數(shù)字和是2N-1.

還有，如果我們隨便取出一列數(shù)字（這個(gè)列是指平行于邊的傾斜的一組數(shù)字），你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的和等于拐角處的數(shù)字。例如圖中1+1+1+1+1=5，1+2+3=6，1+4+10+20=35…

再比如 ：如我們稍微傾斜一下去看楊輝三角形的行，把傾斜的行上的數(shù)字加起來，就會(huì)得到一組數(shù)字：1、1、2、3、5、8、13、…，這恰恰就是神奇的斐波那契數(shù)列。

其實(shí)楊輝三角的神奇性質(zhì)還有許多，在這里就不一一列舉了。

?二項(xiàng)式展開式

楊輝三角最大的應(yīng)用在于計(jì)算二項(xiàng)式的展開式系數(shù)。所謂二項(xiàng)式展開是指兩個(gè)數(shù)和的N次冪，例如

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：二項(xiàng)式展開后是一個(gè)關(guān)于a和b的齊次式，也就是每一項(xiàng)的a和b的冪次之和是相等的。而且，我們可以把a(bǔ)降冪排列，把b升冪排列，這樣一來就會(huì)出現(xiàn)一組系數(shù)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)N次展開式的系數(shù)剛好是楊輝三角形中第N+1行的數(shù)字。

通過這個(gè)規(guī)律，我們就可以方便的計(jì)算出一個(gè)二項(xiàng)式的展開式。例如，我們要計(jì)算(a+b)7,首先就從楊輝三角中讀出第8行的數(shù)字：1、7、21、35、35、21、7、1，再把它們填寫到一個(gè)7次齊次展開式上就可以了。

后來，牛頓爵士把這個(gè)展開式中的冪指數(shù)N推廣到有理數(shù)的情況，提出了牛頓二項(xiàng)式定理。

在開方中的應(yīng)用

利用楊輝三角形，我們可以用迭代的方法進(jìn)行手算開方。比如，我們來計(jì)算一個(gè)最簡(jiǎn)單的問題：求11的二次方根，就可以按照下面的辦法：

首先，如果11可以寫作(a+b)2的形式，我們把二項(xiàng)式展開，根據(jù)三角形得到：

我們?cè)谌≈禃r(shí)讓a>>b，因?yàn)閎很小，所以b2就更小，在這個(gè)展開式中前兩項(xiàng)是主要部分，最后一項(xiàng)是一個(gè)小量，于是我們忽略最后一項(xiàng)，得到

這是一個(gè)重要的近似結(jié)果，我們通過多次迭代就可以找到足夠精度的平方根。

比如，我們先嘗試a=3的結(jié)果，代入表達(dá)式

于是

一次迭代完成，我們得到了11的一個(gè)近似平方根——10/3。

不過，這個(gè)結(jié)果還不夠準(zhǔn)確，下一步，我們可以再取a=10/3，再次代入近似表達(dá)式

于是

于是，我們又得到了一個(gè)更加精確的平方根——199/60。

按照這樣的方法多次迭代，就可以求出一個(gè)比較準(zhǔn)確的平方根了。利用這樣的方法也可以計(jì)算高次方根。

在拋硬幣概率中的應(yīng)用

拋一枚硬幣，正面朝上和反面朝上的概率都是50%。但是如果我們連續(xù)拋4次，問：剛好有兩次正面朝上的概率，你會(huì)計(jì)算嗎？

我們不妨用A表示正面朝上，用B表示反面朝上，把拋硬幣次數(shù)和所有可能的結(jié)果都列在表格中?

大家有沒有發(fā)現(xiàn)：拋硬幣中正面朝上的情況數(shù)其實(shí)構(gòu)成了一個(gè)楊輝三角——拋N次硬幣時(shí)正面朝上的分布情況就是楊輝三角中第N+1行的數(shù)字。

我們按照這個(gè)規(guī)律，拋四次硬幣時(shí)，正面朝上的情況數(shù)應(yīng)該是楊輝三角第五行，1、4、6、4、1，分別代表：

一共有16種情況，其中6種情況下2次正面朝上，所以拋4次硬幣兩次正面朝上的概率是

是不是非常神奇？

梅花機(jī)

?我們終于可以解決最開始提出的問題了：梅花機(jī)中的小球掉到各個(gè)槽中的概率如何計(jì)算？

當(dāng)小球撞到某一個(gè)釘子，它會(huì)隨機(jī)的向左或者向右落下。在小球個(gè)數(shù)比較少的時(shí)候，我們完全無法看出規(guī)律。

但是，如果落下的球足夠多，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)球的分布形成了一種中央多，兩端少的分布情況，這就代表了球落在不同槽中的概率。

這個(gè)裝置最早是由19世紀(jì)的英國(guó)學(xué)者高爾頓發(fā)明的，叫做高爾頓釘板。它所形成的曲線稱為正態(tài)分布曲線，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯曾經(jīng)對(duì)正態(tài)分布的問題頗有研究。

不過，這一回我們只研究一個(gè)簡(jiǎn)單的問題：小球掉入某個(gè)槽中的概率。

我們以4行釘板為例：如果小球要掉入最左側(cè)或者最右側(cè)的槽中，它必須一路順著左邊或者一路順著右邊運(yùn)動(dòng)，因此無論小球運(yùn)動(dòng)到左側(cè)或者右側(cè)的哪一個(gè)位置，運(yùn)動(dòng)路徑的方法數(shù)都是1。

但是，如果小球要運(yùn)動(dòng)到A的位置，就有兩種方式了：要么從A的左上方向右到達(dá)A處，要么從A的右上方向左到達(dá)A處。所以，到達(dá)A處的可能數(shù)等于A左上和右上的可能數(shù)之和。A=1+1=2。

按照這個(gè)規(guī)律我們就能寫出小球到達(dá)任意一個(gè)位置的方法數(shù)。

大家看，這不就剛好是楊輝三角么？

而且，因?yàn)樽矒翎敯逯?，小球向左和向右運(yùn)動(dòng)的概率都是1/2，所以所有的路徑都是等可能的。因此到達(dá)某個(gè)槽的方法數(shù)越多，就代表概率越大。

例如在4行釘板時(shí)，落入槽中的方法總數(shù)有1+4+6+4+1=16種，其中落入中央槽的方法數(shù)有6種，因此落入中央槽的概率就是6/16=37.5%，落入旁邊兩個(gè)槽的概率是4/16=25%，而落到最邊上的兩個(gè)槽的概率就是1/16=6.25%。

?最后做個(gè)實(shí)驗(yàn)看看，分別落下1000個(gè)、2000個(gè)、3000個(gè)小球，并且統(tǒng)計(jì)一下落入各個(gè)槽中的概率大小。

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：隨著小球數(shù)量的增加，落入各個(gè)槽中的比例會(huì)越來越接近理論概率。當(dāng)小球數(shù)量足夠大時(shí)，落入槽中的小球比例會(huì)越來越接近理論概率，這就是大數(shù)定理。

關(guān)于大數(shù)定理是什么？下回再給大家介紹！

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