在對(duì)高緯度進(jìn)行推廣前, 我們先來(lái)復(fù)習(xí)并稍微更改一下一維傅里葉級(jí)數(shù)

有一個(gè)函數(shù)?f(t)?, 我們假設(shè)它在 [0, T)?里可以表達(dá)為以下格式的函數(shù)

現(xiàn)在對(duì)等號(hào)右邊進(jìn)行化簡(jiǎn):??(寫作"化簡(jiǎn)", 讀作"復(fù)雜化")?

有了最后一步, 就可以直接推斷出

可以看到上學(xué)兩式指數(shù)部分只相差一個(gè)負(fù)號(hào),? 這意味著相乘以后所有指數(shù)相關(guān)的都會(huì)變成1,?理解了這一點(diǎn)你就懂得了傅里葉的精髓了

這種方法雖然完全沒有什么直觀的理解方法, 但是在數(shù)學(xué)運(yùn)算上是真的比較簡(jiǎn)單

這里是二維的世界

在理解傅里葉變換前首先要認(rèn)識(shí)什么是二維正弦函數(shù)

在一維里, 我們可以用x軸表示輸入的值, y軸表示函數(shù)的值,? ? 但是在二維里xy整個(gè)平面都是輸入, 而z軸為輸出的值

實(shí)際上二維函數(shù)并不復(fù)雜, 在一維里最基本的正弦函數(shù)是 cos(x),? 而在二維里最基本的函數(shù)為 cos(x)cos(y),? 它的圖像如下所示

可以觀察它的表達(dá)式分為兩部分, cos(x) 和 cos(y), 這意味著二維正弦函數(shù)的頻率應(yīng)該有兩個(gè)ω_x 和 ω_y,? 而對(duì)應(yīng)的相位也應(yīng)該有兩個(gè) φ_x 和 φ_y,??

就如同一維的通用正弦函數(shù)為? {A?cos(ω(x+φ))},? 二維的通用正弦函數(shù)為:??{A?cos(ω_x(x+φ_x))?* B?cos(ω_y(y+φ_y))},? 而AB可以乘在一起當(dāng)作一個(gè)常數(shù)

在一維當(dāng)討論級(jí)數(shù)時(shí), 聲明了范圍 [0, T),? 那么同樣在二維討論級(jí)數(shù)時(shí)也需要聲明范圍:? [0, T0) * [0, T1),? 這是一個(gè)邊長(zhǎng)為T0, T1的長(zhǎng)方形區(qū)域, 起點(diǎn)在(0;?0), 終點(diǎn)在(T0;?T1)

有了函數(shù)的定義和范圍的定義后, 就可以開始計(jì)算了 (腦漿炸裂)

二維傅里葉級(jí)數(shù)

假設(shè)在范圍?[0, T0) * [0, T1) 中, 具有函數(shù) f(x,y),? 那么我們可以假設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表達(dá)為:?

然后就可以開始愉tong快ku的化簡(jiǎn)過程了:? (這里推薦保存圖片后放大看)

那么根據(jù) "傅里葉的精髓" 可以知道有下面結(jié)果:

?二維傅里葉級(jí)數(shù)到此為止

二維傅里葉變換

參照一維傅里葉變換的思路??"當(dāng)函數(shù)范圍逐漸擴(kuò)展到無(wú)窮的過程中, 級(jí)數(shù)系數(shù)間隔越來(lái)越小, 直到無(wú)窮時(shí), 級(jí)數(shù)定義式會(huì)由累加化為積分, 即得到了傅里葉變換"

那么二維也這樣做的話, 就得到了二維的傅里葉變換了:

高維傅里葉變換

在n維的空間里, 存在函數(shù) f(r)?(r為一個(gè)n維的向量 [x0; x1; ... ; xn]) 使用類似二維的推導(dǎo)過程可以得到高維傅里葉變換

其中, ω ` r? 是表示兩個(gè)向量的點(diǎn)積

傅里葉變換的正篇就到此結(jié)束了, 過幾天還有一個(gè)傅里葉小技巧的專欄, 萬(wàn)年前的附章已經(jīng)被我埋了地下了

當(dāng)然, 高維傅里葉變換可不只這么點(diǎn)的東西, 類似的還有離散高維傅里葉變換, 高維窗口傅里葉變換什么的, 不過我在這里就不詳細(xì)講述了 (因?yàn)閼?,? 感興趣的可以直接去找資料或者直接推導(dǎo)的哦

把傅里葉相關(guān)的全部寫完以后呢, 就會(huì)有一篇專門介紹函數(shù)空間的, 然后就是著名的不確定性原理的證明, 最后就是泛函分析基礎(chǔ)了,? 有一篇跟傅里葉密切相關(guān)的小波變換也不知道會(huì)不會(huì)做

出完這些之后, 我想我學(xué)會(huì)的數(shù)學(xué)方面也沒有什么東西好講的了,? 嗯姆

最后來(lái)看看二維傅里葉變換是個(gè)什么東西吧:??(左邊是原圖, 右邊是傅里葉變換的結(jié)果)

為什么分辨率那么低呢,? 因?yàn)楦吡酥笞儞Q后的斑點(diǎn)很小啊 !