這是一座普通城市的普通中學(xué)的一趟普通的初中英語課，但卻是費(fèi)曉馬最不喜歡的課程。費(fèi)曉馬本來就對(duì)英語不感興趣，偏又遇上一個(gè)脾氣古怪，整天板著臉的中年女英語老師。這天的英語課教的是序數(shù)詞，費(fèi)曉馬例行地想心事，根本沒在聽。

英語老師看費(fèi)曉馬走神了，直接讓他回答問題：“費(fèi)曉馬，請(qǐng)你中譯英這句話：我上次考試得了第一名”？費(fèi)小馬條件反射地站了起來，一詞一頓地說：“啊，I am first in last exam......”。

還沒等費(fèi)曉馬說完，老師直接打斷了他：“我已經(jīng)說過無數(shù)次了，序數(shù)詞前要加定冠詞‘the’，the first......你還要我說幾遍??！回去把今天的例句抄10遍！”

費(fèi)曉馬沮喪地坐了下來，心想：這堂課趕緊過去吧。腦子又開始放空，開始思考一些數(shù)學(xué)題來。費(fèi)曉馬很喜歡數(shù)學(xué)，綽號(hào)”小費(fèi)馬”，數(shù)學(xué)是他最喜歡的科目。

想著想著，忽然不知不覺中，英語老師不見了，數(shù)學(xué)老師站在講臺(tái)上，好像數(shù)學(xué)課開始了。

數(shù)學(xué)老師是費(fèi)曉馬最喜歡的李老師，年輕，舉止文雅，談吐幽默，很能跟學(xué)生打成一片。這時(shí)李老師提問了：“上一堂課我們教‘遞歸’概念的時(shí)候，講了個(gè)有“遞歸”的故事，誰還記得那個(gè)故事？”

費(fèi)曉馬在數(shù)學(xué)課上最積極了，馬上站了起來，說：老師，我記得。那個(gè)故事是這樣的，從前有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚和小和尚。有一天，老和尚對(duì)小和尚說：從年有座山，山上有座廟，廟里有個(gè)老和尚和小和尚......就這么下去，老和尚和小和尚的故事怎么也說不完”。

“很正確!”，李老師追問：“那么費(fèi)曉馬，如果你是故事里最里面的那個(gè)老和尚，你會(huì)怎么終結(jié)故事呢？”

費(fèi)曉馬不加思索地說：“那個(gè)老和尚對(duì)小和尚說：‘這個(gè)故事，我已經(jīng)說了無數(shù)次了??！’” 聽到費(fèi)曉馬說出了英語老師的口頭禪，教室里哄堂大笑。

李老師也笑了，說：“你為什么認(rèn)為‘我已經(jīng)說了無數(shù)次了’這句話可以終結(jié)這個(gè)故事呢？”

費(fèi)曉馬說：“無數(shù)次嘛，就表示后面還可以說很多很多次，但都省略不說了，所以就用無數(shù)次概括了。但是，沒有人真的可以說無數(shù)多次，所以這樣說大概不太對(duì)”。

李老師微微一笑，推了一下眼鏡，說：“其實(shí)，‘我已經(jīng)說了無數(shù)次’， 這句話也并非沒有完全意義，如果我們把這句話用序數(shù)來理解的的話?！?/p>

費(fèi)曉馬一下子緊張了：“老師，這不會(huì)跟英語里的序數(shù)詞有啥關(guān)聯(lián)吧？”

李老師說：“費(fèi)曉馬，你不用怕英語到這程度吧。別怕，不考你英語。我們就看看能不能賦予’我已經(jīng)說了無數(shù)次’，這句話一點(diǎn)意義，但會(huì)牽扯到數(shù)學(xué)里的序數(shù)概念。你看，如果我們把‘無數(shù)次’算作一個(gè)數(shù)字的話，那‘我已經(jīng)說了無數(shù)次’這句話，就更我們平時(shí)說的，‘我已經(jīng)說了一百次，一千次’一樣，都是有意義的?！?/p>

“但是老師，‘無數(shù)次’到底算是一個(gè)什么數(shù)字呢”？

李老師說：“比任何自然數(shù)都大的一個(gè)數(shù)！我知道這很難理解，但這是數(shù)學(xué)里很有意思的地方，因?yàn)樗且粋€(gè)可以與‘無窮大’打交道的學(xué)科。

“比全體自然數(shù)大，這句話確實(shí)無法理解，因?yàn)樵诔Ｒ?guī)的大和小的意義下，這句話是不對(duì)的。但數(shù)學(xué)里有其他比大小的方法，比如集合中的包含和子集。一個(gè)集合里的元素完全可以是無窮多的，它也可以包含其他有無窮多個(gè)元素的集合，沒有問題?！?/p>

費(fèi)曉馬似懂非懂的問：“這跟‘無數(shù)次’有什么關(guān)系嗎’？

李老師說：“有啊，你可以這樣理解：

“我已經(jīng)說了n次” 這句話，相當(dāng)于‘我說：“我已經(jīng)說了n-1次了”’，你看，這是不是很像一個(gè)集合包含了另一個(gè)集合，也有點(diǎn)像遞歸？”

“對(duì)”，很多學(xué)生同時(shí)答到。

“那我們我再定義：‘我已經(jīng)說了無數(shù)次了’，這句話描述了一個(gè)集合，其中包含了所有的‘我說了n次’的情況，n可以是任何的自然數(shù)，這樣，‘我已經(jīng)說了無數(shù)次了’，這句話不就有意義了嗎？

費(fèi)曉馬思索了一下，困惑的說：老師，這樣真有什么意義嗎？‘說了n多次，無數(shù)次’，這種話，我們平時(shí)開開玩笑而已，數(shù)學(xué)里有什么用嗎？”

李老師說：“現(xiàn)在看確實(shí)沒啥用，但是如果我們能在‘無數(shù)次說’了之后，再‘說一次’，那就有意思了。”

“無數(shù)次之后再說一次？”費(fèi)曉馬更困惑了。

李老師暗下一樂，說：“既然我們?cè)谡f集合，并且一個(gè)集合包含另一個(gè)集合，就表示前者更大，那我們只要定義一個(gè)集合，包含了‘我說了無數(shù)次’這個(gè)集合就可以了。你們想下這句話：‘我說：我已經(jīng)說了無數(shù)次了’，那么你們覺得我一共說了幾次呢？”

“難道是無數(shù)次加一？”，費(fèi)曉馬問？

李老師說：“對(duì)啊，根據(jù)我們之前集合遞歸包含的規(guī)則，這就是無數(shù)次加一次啊。記住，我們現(xiàn)在就可以把‘無數(shù)次’當(dāng)做一個(gè)數(shù)字來處理，雖然它的本質(zhì)是全體自然數(shù)構(gòu)成的集合。另外要記住一點(diǎn)，現(xiàn)在的加法是沒有交換律的，比如‘1+無數(shù)次’就不等于‘無數(shù)次+1’，費(fèi)曉馬你說說看為什么這樣？”

費(fèi)曉馬開始思考起來，說：“‘我說了1+無數(shù)次’，那就相當(dāng)于我先說了一次，然后又說：‘我說了無數(shù)次’；但是‘無數(shù)次’里包含了那一次，所以總體只說了‘無數(shù)次’。但是，這句話：‘我說：我已經(jīng)說了無數(shù)次了’，根據(jù)我們遞歸規(guī)則，外面這次確實(shí)包含了里面的那句話，所以相當(dāng)于說了‘無數(shù)次+1’次。”

李老師對(duì)費(fèi)曉馬相當(dāng)滿意，說：“太對(duì)了，你要記住，現(xiàn)在的討論里，次序會(huì)很重要，因?yàn)槲覀儬可娴綗o窮這個(gè)概念?！?/p>

費(fèi)曉馬一下子來勁了，繼續(xù)思考：“對(duì)啊，不管你先說了多少次，后面如果說了無數(shù)次，那么總數(shù)上還是無數(shù)次啊，次序換過來就不一樣了。那么老師，這樣看的話，這句話：‘我說，“我說：我已經(jīng)說了無數(shù)次”’這句話，就是我說了無數(shù)次+2次吧?！?/p>

李老師答復(fù)：“對(duì)?！?/p>

“那么這句話：‘我已經(jīng)說了無數(shù)次：我已經(jīng)說了無數(shù)次’，這句話算說了幾次呢？”，費(fèi)曉馬拋出了他真正想問的問題。

李老師也早有準(zhǔn)備：“那我們需要返回之前的定義。之前我們只定義了：’我說了：我已經(jīng)說了n次‘，這句話的含義，其結(jié)果相當(dāng)于說了n+1次。但是沒有定義這種句式：‘我說了p次：我已經(jīng)說了q次’。現(xiàn)在需要定義一下這種句式的含義。

根據(jù)我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)：‘我已經(jīng)說了兩次：這事我已經(jīng)說了三次了’?？傮w上是不是感覺說了六次。那么之前那句話，我們就可以定義成乘法關(guān)系，‘我說了p次：我已經(jīng)說了q次’，這句話總體上就是說了q乘以p次?！?/p>

“那么‘我已經(jīng)說了2次：我已經(jīng)說了無數(shù)次’ 就是我已經(jīng)說了2倍的無數(shù)次！”。費(fèi)曉馬忍不住插了一句。

李老師微微點(diǎn)頭，繼續(xù)說：“但要注意，一旦涉及到‘無數(shù)次’，次序又變得重要起來。比如‘我已經(jīng)說了無數(shù)次：我說了兩次了’。這句話，總的次數(shù)應(yīng)該寫成2乘以無數(shù)次，但結(jié)果仍然是無數(shù)次。因?yàn)檎f再多的‘兩次’，最終也會(huì)被外面的‘無數(shù)次’覆蓋了，超不過‘無數(shù)次’。

但是，’我已經(jīng)說了兩次：我說了無數(shù)次了‘，這句話確實(shí)是‘我已經(jīng)說了無數(shù)次乘以2次’，就是兩倍于無數(shù)次。而‘兩倍于無數(shù)次’確實(shí)比‘無數(shù)次’大，所以我們這里，乘法交換律也不成立，這一點(diǎn)需要注意?！?/p>

費(fèi)曉馬頓有所悟，有點(diǎn)興奮得說：“那老師，這樣看來，‘我說了無數(shù)次：我已經(jīng)說了無數(shù)次’，這句話就應(yīng)該是‘無數(shù)次’乘以‘無數(shù)次’，等于‘無數(shù)次的平方次’了吧？”

“對(duì)啊，簡單吧。那之后你還可以繼續(xù)……”

沒等李老師說完，費(fèi)曉馬迫不及待的說：“那還可以有無數(shù)次的3次方，無數(shù)次的4次方，以至于無數(shù)次的無數(shù)次方對(duì)吧.....”

剛到這里，費(fèi)曉馬忽然又聽到一個(gè)不想聽到聲音：“費(fèi)曉馬，你上課又打瞌睡了，你告訴我，我剛才說了啥？”

啊，原來還是英語課啊，費(fèi)曉馬迷迷糊糊地的，也不知道哪來的勇氣：“老師，你剛才說，你已經(jīng)說了無數(shù)次了，但你其實(shí)已經(jīng)說過了無數(shù)次‘我已經(jīng)說了無數(shù)次了’！”。

課堂里一陣哄笑，費(fèi)曉馬這次真的醒了過來。原來現(xiàn)在只是早上，費(fèi)曉馬還躺在自己的床上。

費(fèi)曉馬心想：“還好只是夢(mèng)啊，都怪我昨天睡前聽大老李講序數(shù)，做了這么一個(gè)夢(mèng)中夢(mèng)。不過以后我知道原來'我說了無數(shù)次'這句話還是有意義的啊。”想到這，費(fèi)曉馬似乎覺得英語老師的這句口頭禪也不是那么討厭了。

(未完，續(xù)不續(xù)看反響......）