學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（六十一）

2023-02-26 16:37 作者:不能吃的大魚(yú) 0人讀過(guò) | 我要投稿

介紹過(guò)Fourier級(jí)數(shù)的基本概念之后，很顯然，我們接下來(lái)要著重研究一下Fourier級(jí)數(shù)的收斂性問(wèn)題。Fourier級(jí)數(shù)作為一種函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，顯然是滿(mǎn)足函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的各種收斂定理，并且受各種判別法的限制的。但是，在另一種函數(shù)展開(kāi)級(jí)數(shù)——Taylor級(jí)數(shù)部分，我們提到過(guò)，即使級(jí)數(shù)收斂，也未必收斂到函數(shù)本身。對(duì)于Taylor級(jí)數(shù)而言，我們比較容易得到判斷其是否收斂到原本函數(shù)的充要條件。但是對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)而言，問(wèn)題就沒(méi)那么簡(jiǎn)單了。這也是我們要著重討論它的原因。

Chapter? Seventeen? Fourier分析

17.2? Fourier級(jí)數(shù)的收斂定理

在討論Fourier級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題之前，我們首先要指出，不同于我們之前對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的討論，很多時(shí)候我們更關(guān)注Fourier級(jí)數(shù)的收斂值，也就是Fourier級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處的收斂性與其和的存在性問(wèn)題。至于Fourier級(jí)數(shù)是否一致收斂，一方面由于其過(guò)于難以討論，另一方面對(duì)于Fourier級(jí)數(shù)而言，很多時(shí)候結(jié)論可能都是否定的。所以我們主要研究它的逐點(diǎn)收斂性。

我們還是回歸到級(jí)數(shù)的本質(zhì)——部分和數(shù)列的極限。

Fourier級(jí)數(shù)的在某點(diǎn)處的部分和應(yīng)該寫(xiě)作：

$S_n(x_0)%3D%5Cfrac%7Ba_0%7D%7B2%7D%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20(a_k%5Ccos%20kx_0%2Bb_k%5Csin%20kx_0)%20$

代入系數(shù)表達(dá)式，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AS_n(x_0)%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)%5Cbigg(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20(%5Ccos%20kx%5Ccos%20kx_0%2B%5Csin%20kx%5Csin%20kx_0)%20%5Cbigg)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20f(x)%5Cbigg(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Ccos%20k(x-x_0)%20%5Cbigg)%5Ctext%20dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

利用積化和差公式不難證明：

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Ccos%20k(x-x_0)%20%3D%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(x-x_0)%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(x-x_0)%7D%20%5Cquad(x%E2%89%A0x_0%2B2m%5Cpi)$

（命題1）

于是就有：

$S_n(x_0)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df(x)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)(x-x_0)%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20(x-x_0)%7D%20%5Ctext%20dx$

換元，并平移積分區(qū)間，就有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AS_n(x_0)%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B%5Cpi%7Df(t%2Bx_0)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%7B0%7D%2B%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Cbigg)%5Cbigg(f(t%2Bx_0)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%5Cbigg)%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)%0A)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

最后得到的積分就成了我們討論問(wèn)題的關(guān)鍵，這一積分稱(chēng)為Dirichlet積分，被積函數(shù)中的：

$%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20$

稱(chēng)為Dirichlet核。

對(duì)于Dirichlet核，我們能夠得到：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cint_0%5E%5Cpi%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20%5Ctext%20dt%26%3D%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Ccos%20kt%5Cbigg)%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

也即：

$%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20%5Ctext%20dt%3D1$

設(shè)若該級(jí)數(shù)收斂，且假設(shè) $S_n(x_0)%5Crightarrow%20s$ ，則有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0AS_n(x_0)-s%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)%0A)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dt-s%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)%0A)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dt-s%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)%0A-2s)%5Cfrac%7B%5Csin%20(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Ctext%20dt%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Cfrac%7Bf(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)%0A-2s%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%20%7D%5Csin(n%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%20%5Ctext%20dt%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D%0A$

考慮Riemann-Lebesgue引理的條件，我們知道當(dāng)滿(mǎn)足：

$%5Cvarphi%20(t)%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)-2s%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20$

在 $%5B0%2C%5Cpi%5D$ 上可積且絕對(duì)可積（即，常義積分區(qū)間上可積，反常積分區(qū)間上絕對(duì)可積）時(shí)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂，且有：

$S_n(x_0)%5Crightarrow%20s%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2B0)%2Bf(x_0-0)%7D%7B2%7D%20$

即收斂于函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限的平均值。

進(jìn)一步考慮，一方面，由于：

$t%5Csim%202%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%5Cquad(t%5Crightarrow%200%5E%2B)$

且二者左右兩側(cè)都是非負(fù)的，則由比較判別法，當(dāng)：

$%5Cvarphi%20(t)%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)-2s%7D%7Bt%7D%20$

可積且絕對(duì)可積時(shí)，也能得到一樣的結(jié)論。

另一方面，區(qū)間右端點(diǎn)實(shí)際上可以任意的小。因?yàn)閷?duì)于任意的 $%5Cdelta%20%EF%BC%9E0$ ，我們總可以將積分區(qū)間拆解成兩個(gè)部分，一個(gè)是常義積分部分，一個(gè)是反常積分部分。對(duì)于常義積分部分使用Riemann-Lebesgue引理，就能得到這是收斂至0的。于是，積分值主要取決于反常積分部分。

上面的討論引申出兩個(gè)結(jié)果：

（1）函數(shù) $f$ 在某點(diǎn)處的收斂性只與函數(shù)在該點(diǎn)附近的的表現(xiàn)有關(guān)；

（局部收斂定理）

（2）當(dāng)存在 $%5Cdelta%20%EF%BC%9E0$ ，使得函數(shù)：

$%5Cvarphi%20(t)%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)-2s%7D%7Bt%7D%20$

在 $%5B0%2C%5Cdelta%20%5D$ 上可積且絕對(duì)可積時(shí)，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)逐點(diǎn)收斂，且有：

$S_n(x_0)%5Crightarrow%20s%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2B0)%2Bf(x_0-0)%7D%7B2%7D%20$

即收斂于函數(shù)在該點(diǎn)處的左右極限的平均值。

（Dini判別法）

利用Dini判別法，可以直接得到以下兩個(gè)便于應(yīng)用的判別法：

（1）設(shè)函數(shù) $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ （這表明該函數(shù)是給定區(qū)間上的可積且絕對(duì)可積函數(shù)），其在 $x_0$ 附近滿(mǎn)足 $%5Calpha%20$ 階Lipschitz條件，即：

$%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8CL%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Calpha%5Cin(0.1%5D%EF%BC%8C%5Cforall%20t%5Cin(0%2C%5Cdelta%5D%EF%BC%8C%7Cf(x_0%2Bt)-f(x_0%2B0)%7C%5Cle%20Lt%5E%5Calpha%EF%BC%8C%7Cf(x_0-t)-f(x_0-0)%7C%5Cle%20Lt%5E%5Calpha.$

則此函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)在該點(diǎn)處收斂于：

$s%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2B0)%2Bf(x_0-0)%7D%7B2%7D%20$

（2）設(shè)函數(shù) $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ ，當(dāng)其在 $x_0$ 處有兩個(gè)有限的廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

$%5Clim_%7Bt%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cfrac%7Bf(x_0%2Bt)-f(x_0%2B0)%7D%7Bt%7D%20%EF%BC%8C%20%5Clim_%7Bt%5Cto0%5E%2B%7D%20%5Cfrac%7Bf(x_0-t)-f(x_0-0)%7D%7Bt%7D%20$

時(shí)，此函數(shù)在該點(diǎn)處的Fourier級(jí)數(shù)收斂至：

$s%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2B0)%2Bf(x_0-0)%7D%7B2%7D%20$

特別地，當(dāng)函數(shù)在這一點(diǎn)處至少是單側(cè)可導(dǎo)時(shí)， $s%3Df(x_0)$ 。

這樣的結(jié)果表明，當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)處至少有一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，就可以保證其Fourier級(jí)數(shù)在該點(diǎn)收斂，并且其和等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值。

對(duì)于周期非2π的函數(shù)而言，考慮到我們最開(kāi)始介紹Fourier級(jí)數(shù)時(shí)提到過(guò)的變換，就可以做出類(lèi)似的Fourier展開(kāi)；而對(duì)于僅在有限區(qū)間上有定義的非周期函數(shù)，我們?nèi)绻麑⑵淇醋鲆粋€(gè)周期函數(shù)的某一個(gè)周期，拓寬函數(shù)的定義域，由于原本函數(shù)的性質(zhì)在新的延拓后的函數(shù)內(nèi)沒(méi)有發(fā)生變化，因此對(duì)于這個(gè)新函數(shù)的展開(kāi)也就得到了原本有限區(qū)間上的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)。

不過(guò)，有的時(shí)候，為了直接利用我們已經(jīng)有的討論結(jié)果，很多時(shí)候我們會(huì)采用其他的延拓方式。比如說(shuō)，對(duì)于定義在 $(0%2C%5Cpi)$ 的函數(shù)，由于其區(qū)間長(zhǎng)度正好是2π的一半，所以我們可以考慮將這個(gè)函數(shù)先按照一定的規(guī)律延拓成一個(gè)定義在 $(-%5Cpi%2C%5Cpi)$ 上的函數(shù)，這樣就可以直接利用我們的結(jié)果進(jìn)行展開(kāi)并判斷斂散性等。進(jìn)而，我們?cè)賹⑵渫频秸麄€(gè)實(shí)數(shù)域上去。

為了計(jì)算方便，我們通常采用兩種延拓方式，一種是令：

$f(-x)%3Df(x)$

稱(chēng)為偶性延拓，另一種是滿(mǎn)足：

$f(-x)%3D-f(x)$

稱(chēng)為奇性延拓。

這兩種延拓的方便之處在于，偶性延拓使得函數(shù)變成了偶函數(shù)，從而使得級(jí)數(shù)中的正弦項(xiàng)的系數(shù)全部為0，而只需要計(jì)算余弦項(xiàng)；對(duì)應(yīng)地，奇性延拓使得函數(shù)變?yōu)榱似婧瘮?shù)，從而級(jí)數(shù)中的余弦項(xiàng)消失，正弦項(xiàng)得以保留。

通過(guò)偶性延拓得到的級(jí)數(shù)中只有余弦項(xiàng)，稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù)；對(duì)應(yīng)地，通過(guò)奇性延拓之后得到的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)。

Chapter? Seventeen? Fourier分析

17.3? Fourier級(jí)數(shù)的Cesàro求和

我們上面對(duì)Fourier級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)的討論很大程度上表明，只有當(dāng)函數(shù)一定程度上可導(dǎo)的時(shí)候，它的Fourier級(jí)數(shù)是收斂的。而1876年，Du Bois-Reymond舉出了一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它的Fourier級(jí)數(shù)在若干點(diǎn)處是發(fā)散的。這就表明，僅有連續(xù)性沒(méi)辦法保證Fourier級(jí)數(shù)收斂。

這一結(jié)論極大地限制了Fourier級(jí)數(shù)的應(yīng)用，盡管它的應(yīng)用范圍已經(jīng)很廣泛了，但是面對(duì)很多我們需要它來(lái)處理的問(wèn)題時(shí)，它卻無(wú)能為力。

歷史上的數(shù)學(xué)家們想了很多辦法，來(lái)進(jìn)一步擴(kuò)大Fourier級(jí)數(shù)的收斂范圍與應(yīng)用范圍，其中比較矚目的方法，就是改變收斂性的定義。盡管原本我們對(duì)收斂性的定義十分地符合我們的直觀(guān)，但是在某些方面，卻又與我們很多直接的想法相悖，比如說(shuō)級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20(-1)%5En%20$ 顯然是發(fā)散的，但是我們卻可能會(huì)直觀(guān)地認(rèn)為這一級(jí)數(shù)可以收斂。（因?yàn)榧?jí)數(shù)的形式十分地簡(jiǎn)單，而且相鄰兩項(xiàng)之間可以約去，導(dǎo)致最后的結(jié)果其實(shí)只是有限值，甚至是在兩個(gè)值之間來(lái)回變動(dòng)。）

為此，一些數(shù)學(xué)家們提出了一些新的收斂性定義，使得其收斂范圍大于原本的收斂范圍。其中比較好理解的，就是我們接下來(lái)要介紹的Cesàro求和與收斂：

設(shè) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$ 是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)， $%5C%7BS_n%5C%7D$ 是其部分和序列。如果序列：

$%5Csigma%20_n%3D%5Cfrac%7BS_1%2BS_2%2B%5Ccdots%20S_n%7D%7Bn%7D%20%5Crightarrow%20%5Csigma%EF%BC%9C%E2%88%9E$

收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$ 在Cesàro意義下收斂， $%5Csigma%20$ 稱(chēng)為該級(jí)數(shù)的Cesàro和，記為：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n%3D%5Csigma%20(C)$

此時(shí)，稱(chēng)級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$ 可Cesàro求和。

無(wú)論是利用Cauchy命題，還是利用Stolz定理，我們都能證明，如果一個(gè)級(jí)數(shù)在通常意義下收斂，那么它一定可Cesàro求和。而對(duì)于我們舉的例子，我們不難發(fā)現(xiàn)：

$%5Csigma%20_n%3D%5Cfrac%7B1%2B0%2B1%2B0%2B%5Ccdots%20%7D%7Bn%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20$

于是，新的收斂范圍就比原本的收斂范圍要大了一些。

那么，在Cesàro意義下，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)的收斂性又有怎樣的變化呢？

我們考慮：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csigma%20_n(x_0)%26%3D%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20S_n(x_0)%7D%7Bn%7D%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t))%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%7D%7B2%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20%5Ctext%20dt%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t))%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bnt%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%5Cbigg)%5E2%5Ctext%20d%20t%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

這里利用了三角恒等式：

$%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-1%7D%20%5Csin(k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)t%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5E2%20%5Cfrac%7Bnt%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20$

（命題2）

利用Dirichlet核的積分，我們不難得到：

$%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bnt%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%20%5Cbigg)%5E2%5Ctext%20dt%3D1$

我們還是假設(shè)Fourier級(jí)數(shù)是在Cesàro意義下收斂的，并設(shè)其和為 $%5Csigma%20$ ，則有：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Csigma%20_n(x_0)-%5Csigma%20%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t))%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bnt%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%5Cbigg)%5E2%5Ctext%20d%20t-%5Csigma%20%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2n%5Cpi%7D%20%5Cint_0%5E%5Cpi%20(f(x_0%2Bt)%2Bf(x_0-t)-2%5Csigma%20)%5Cbigg(%5Cfrac%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bnt%7D%7B2%7D%7D%7B%5Csin%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%7D%7D%5Cbigg)%5E2%5Ctext%20d%20t%5C%5C%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

我們很容易就猜到，如果函數(shù) $f$ 在 $x_0$ 處的左右極限都存在，則Fourier級(jí)數(shù)在該點(diǎn)處在Cesàro意義下收斂。即：

設(shè)函數(shù) $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 。如果函數(shù) $f$ 在 $x_0$ 處的左右極限都存在，則Fourier級(jí)數(shù)在該點(diǎn)處在Cesàro意義下收斂，且：

$%5Csigma%20%3D%5Cfrac%7Bf(x_0%2B0)%2Bf(x_0-0)%7D%7B2%7D%20$

（Fejér定理）

從這一定理，我們能夠得到：

設(shè)函數(shù) $f%5Cin%5Cmathbf%20R%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 。如果函數(shù) $f$ 在 $x_0$ 處的左右極限都存在，且其Fourier級(jí)數(shù)在通常意義下收斂，則其一般意義下的和一定為左右極限的算術(shù)平均值。

（推論1）

如果我們將周期函數(shù)強(qiáng)化為連續(xù)周期函數(shù)，那么我們對(duì)應(yīng)修改Fejér定理中的證明，就可以得到：

連續(xù)周期函數(shù) $f$ 的Fourier級(jí)數(shù)在Cesàro意義下在 $(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ 上一致收斂于其本身。

（Fejér定理）

從而我們可以得到：

如果 $f$ 在 $%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D$ 上連續(xù)，且：

$f(-%5Cpi)%3Df(%5Cpi)$

則其能用三角多項(xiàng)式一致逼近。

（Weierstrass三角逼近定理）

不難想到，其實(shí)用于逼近函數(shù)的三角多項(xiàng)式就是Fourier級(jí)數(shù)的Cesàro和序列。

我們最后為大家介紹另一種收斂性概念，但是具體的內(nèi)容不做過(guò)多討論：

設(shè)由無(wú)窮級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$ 產(chǎn)生的冪級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_nx%5En$ 的收斂半徑為1.若：

$%5Clim_%7Bx%5Cto1%5E-%7D%20%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_nx%5En%3Da$

存在且有限，則稱(chēng)級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$ 在Abel意義下收斂， $a$ 稱(chēng)為其Abel和，記為：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n%3Da(A)$

此時(shí)稱(chēng)級(jí)數(shù)可以Abel求和。

思考：

證明命題1；
證明命題2；
證明Fejér定理；
證明推論1；
證明：對(duì)任意的 $x%5Cin(-%E2%88%9E%2C%2B%E2%88%9E)$ ，有：

$%7C%5Ccos%20x%7C%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%20%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B(-1)%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7B4n%5E2-1%7D%20%5Ccos%202nx$

$%7C%5Csin%20x%7C%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%20-%5Cfrac%7B4%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4n%5E2-1%7D%20%5Ccos%202nx$
證明：對(duì) $x%5Cin(0%2C2%5Cpi)$ 以及 $a%E2%89%A00$ ，有：

$e%5E%7Bax%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7B2ax%7D-1%7D%7B%5Cpi%7D%20%5Cbigg(%5Cfrac%7B1%7D%7B2a%7D%20%2B%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%E2%88%9E%20%5Cfrac%7Ba%5Ccos%20kx-k%5Csin%20kx%7D%7Bk%5E2%2Ba%5E2%7D%20%5Cbigg)$
求下列級(jí)數(shù)的Cesàro和：

（1）

$1%2B0-1%2B1%2B0-1%2B%5Ccdots$

（2）

$%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%2B%5Ccos%20x%2B%5Ccos%202x%2B%5Ccdots%20%5Cquad(0%EF%BC%9Cx%EF%BC%9C2%5Cpi)$
證明：

（1）如果級(jí)數(shù)在通常意義下收斂，則一定在Abel意義下收斂，且有：

$a(A)%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20a_n$

（2）

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20(-1)%5En%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(A)$

（3）如果級(jí)數(shù)在Cesàro意義下收斂，則一定在Abel意義下收斂，且有：

$%5Csigma%20(C)%3Da(A)$

（4）級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(-1)%5En(n%2B1)$ 可Abel求和，但是不能Cesàro求和，并求其Abel和；
求級(jí)數(shù)：

$%5Csum_%7Bn%3D2%7D%5E%7B%E2%88%9E%7D%20(-1)%5En%5Cln%20n$

的Cesàro和。