? ? ? ?現(xiàn)代數(shù)學中，我們知道，雙曲線的旋轉(zhuǎn)曲面大體分為兩類，一類是單葉雙曲面，一類是雙葉雙曲面，這是它們繞著不同的對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的不同效果圖。如上面的圖形所示。

? ? ? ?我們知道，雙曲線是對稱出現(xiàn)的兩支曲線，如果把這兩支曲線及其所在的平面繞著它的軸線旋轉(zhuǎn)一周，就會得到一對類似球面的曲面和這一對曲面包含的旋轉(zhuǎn)體?；蛘哒f，我們把雙曲線包含的平面部分即雙曲面，繞軸線旋轉(zhuǎn)，就會得到兩個無限雙曲面旋轉(zhuǎn)體。這兩個旋轉(zhuǎn)體都隨著軸線的延伸而無限增大，但我們往往研究的是它的截取部分，也即是：如果用一個平面截其中的一個無限雙曲面旋轉(zhuǎn)體，那么曲面和這個平面之間的部分就是我們這里所謂的雙曲面旋轉(zhuǎn)體。這里的旋轉(zhuǎn)體主要是對應(yīng)著雙葉雙曲面的情況而定的。

? ? ? ? 如何求這個任意截取的雙曲面旋轉(zhuǎn)體的體積呢？阿基米德在本命題中給出了解決的辦法，他還是把這個旋轉(zhuǎn)體的體積跟與它同底等高的圓錐體之間建立比例來解決的。二者的比例關(guān)系用如下文字可以表述：[關(guān)于鈍角圓錐體的外接類球缺（例如，雙曲面旋轉(zhuǎn)體）和一個圓錐體]，它們具有相同的底面和相等的高度，此類球缺與圓錐體的比，如同類球缺的軸線與軸線的附加部分的三倍之和，與類球缺的軸線與附加部分的兩倍之和的比.（這里的附加部分指的是：通過雙曲面軸線的雙曲截面的貫軸.或者，換個說法，指的是類球缺頂點與包絡(luò)圓錐頂點之間的距離.）

? ? ? ? 看到這段話，有種云里霧里的感覺，下面，我就跟大家絮叨絮叨其中的幾個關(guān)鍵詞，首先是“鈍角圓錐體的外接類球缺”，由于雙曲線的彎曲程度相對較小，所以，它的內(nèi)接圓錐體的頂角都是鈍角，所以稱這樣的圓錐為鈍角圓錐體，那么，包裹著它的外接雙曲面旋轉(zhuǎn)體，因為它的彎曲是平滑的，類似球面的樣子，而且又是別一個平面截取的部分立體圖形，所以我們姑且稱之為類球缺，合起來就是鈍角圓錐體的外接類球缺，其實就是我們剛剛提到的雙曲面旋轉(zhuǎn)體；軸線的附加部分，指的是軸線在雙曲面頂點處往外延伸到兩雙曲線對稱中心的水平距離這一段線段，它是軸線往外的延長線。

? ? ? ?本命題僅僅給出了結(jié)論，并沒有給出證明的過程，主要因為在阿基米德的另一本著作《論劈錐曲面體和旋轉(zhuǎn)橢圓體》的命題25中已經(jīng)給出了證明。下面我先給出我們的簡短譯文，然后再為大家附上陜師大出版社翻譯的《論劈錐曲面體和旋轉(zhuǎn)橢圓體》中的證明過程。當然，我們翻譯的圖形名稱和其他同仁們翻譯的有不同之處，出發(fā)點都是怎么有利于讀者的理解，請大家在對比閱讀中注意區(qū)別和聯(lián)系。請看：

翻譯正文：

《論劈錐曲面體和旋轉(zhuǎn)橢圓體》中的證明：