基本概念：（1） 面力、體力與應(yīng)力、應(yīng)變、位移的概念及正負(fù)號規(guī)定（2） 切應(yīng)力互等定理： 作用在兩個互相垂直的面上，并且垂直于改兩面交線的切應(yīng)力是互等的（大小相等，正負(fù)號也相同）。（3） 彈性力學(xué)的基本假定： 連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性和小變形。（4） 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變；設(shè)有很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力或約束。同時，體力也平行與板面并且不沿厚度方向變化。這時，

，由切應(yīng)力互等，

，這樣只剩下平行于xy面的三個平面應(yīng)力分量，即

，所以這種問題稱為平面應(yīng)力問題。設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面且不沿長度變化的面力或約束，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化，由對稱性可知，

，根據(jù)切應(yīng)力互等，

。由胡克定律，

，又由于z方向的位移w處處為零，即

。因此，只剩下平行于xy面的三個應(yīng)變分量，即

，所以這種問題習(xí)慣上稱為平面應(yīng)變問題。（5） 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；過一個點(diǎn)所有平面上應(yīng)力情況的集合，稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。（6） 圣維南原理；（提邊界條件）如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受到的影響可以忽略不計。（7） 軸對稱；在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。一、 平衡微分方程：

二、 (1) 平面問題的平衡微分方程；

（記）(2) 平面問題的平衡微分方程（極坐標(biāo)）；

編輯

1、平衡方程僅反映物體內(nèi)部的平衡，當(dāng)應(yīng)力分量滿足平衡方程，則物體內(nèi)部是平衡的。2、平衡方程也反映了應(yīng)力分量與體力（自重或慣性力）的關(guān)系。三、 幾何方程；（1） 平面問題的幾何方程；

（記）（2） 平面問題的幾何方程（極坐標(biāo)）；

編輯

1、幾何方程反映了位移和應(yīng)變之間的關(guān)系。2、當(dāng)位移完全確定時，應(yīng)變也確定；反之，當(dāng)應(yīng)變完全確定時，位移并不能確定。（剛體位移）四、 物理方程；（1） 平面應(yīng)力的物理方程；

（記）（2） 平面應(yīng)變的物理方程；

編輯

（3） 極坐標(biāo)的物理方程（平面應(yīng)力）；

編輯

（4） 極坐標(biāo)的物理方程（平面應(yīng)變）；

編輯

五、 邊界條件；（1） 幾何邊界條件；平面問題：

在

上；（2） 應(yīng)力邊界條件；平面問題：

（記） （3） 接觸條件；光滑接觸：

n為接觸面的法線方向非光滑接觸：

n為接觸面的法線方向（4） 位移單值條件；

（5） 對稱性條件：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況，以及所受的外力作用，都是對稱于某一軸（通過該軸的任一平面都是對稱面），則所有的應(yīng)力、變形和位移也就對稱于這一軸。這種問題稱為空間軸對稱問題。一﹑概念1．彈性力學(xué)，也稱彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個分支。 2.固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。 3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。. 4研究對象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛 5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)法. 6彈性力學(xué)研究問題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué) 三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答；. 7.彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。 8.幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。 9.物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。 10.平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。 11當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。 12.邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。 13．圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計。 14. 圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪?，與無面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。 15.求解平面問題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。 16.彈性力學(xué)的基本原理：解的唯一性原理﹑解的疊加原理﹑圣維南原理。 會推導(dǎo)兩種平衡微分方程 17.逆解法步驟：(1)先假設(shè)一滿足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù) （2）由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量 （3）在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件, 分析這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問題。（或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù) 18.半逆解法步驟：(1)對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式 (2)按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式（含待定函數(shù)項(xiàng)）； (3)將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形式； (4)將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24)，由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量 (5)根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿足全

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一、單項(xiàng)選擇題（按題意將正確答案的編號填在括弧中，每小題2分，共10分）

1、彈性力學(xué)建立的基本方程多是偏微分方程，還必須結(jié)合（ C ）求解這些微分方程，以求得具體問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移。

A．相容方程 ? ? ?B．近似方法 ? ? ? C．邊界條件 ? ? D．附加假定

2、根據(jù)圣維南原理，作用在物體一小部分邊界上的力系可以用（ B ?）的力系代替，則僅在近處應(yīng)力分布有改變，而在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。

A．幾何上等效 ? ? ?B．靜力上等效 ? ? ? C．平衡 ? ? D．任意

3、彈性力學(xué)平面問題的求解中，平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的三類基本方程不完全相同，其比較關(guān)系為（ B ）。

? ?A．平衡方程、幾何方程、物理方程完全相同

? ?B．平衡方程、幾何方程相同，物理方程不同

? ?C．平衡方程、物理方程相同，幾何方程不同

D．平衡方程相同，物理方程、幾何方程不同

在研究方法方面：材力考慮有限體ΔV的平衡，結(jié)果是近似的；彈力考慮微分體dV 的平，結(jié)果比較精確。

4、常體力情況下，用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程形式為

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，

6、設(shè)有函數(shù)

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，

（1）判斷該函數(shù)可否作為應(yīng)力函數(shù)？（3分）

（2）選擇該函數(shù)為應(yīng)力函數(shù)時，考察其在圖中所示的矩形板和坐標(biāo)系（見題九圖）中能解決什么問題（l >>h）。（15分）

解：

（1）將φ代入相容方程

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，顯然滿足。因此，該函數(shù)可以作為應(yīng)力函數(shù)。

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圖片上傳失敗

重試

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對于如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系，結(jié)合邊界上面力與應(yīng)力的關(guān)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時，由主邊界和次邊界上的應(yīng)力邊界條件可知，左邊、下邊無面力；而上邊界上受有向下的均布壓力；右邊界上有按線性變化的水平面力合成為一力偶和鉛直面力。

所以,能夠解決右端為固定端約束的懸臂梁在上邊界受均布荷載q的問題。

? ?2009 ~ 2010學(xué)年第 二 學(xué)期期末考試試卷 ?（ A ）卷

一． 名詞解釋（共10分，每小題5分）

1. 彈性力學(xué)：研究彈性體由于受外力作用或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。

2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點(diǎn)的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。

應(yīng)力符號的規(guī)定為： 正面正向、負(fù)面負(fù)向?yàn)檎?，反之為?fù) 。4. ?彈性力學(xué)中，正面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸正向 的面，負(fù)面是指 外法向方向沿坐標(biāo)軸負(fù)向 的面 。

1. （8分）彈性力學(xué)平面問題包括哪兩類問題？分別對應(yīng)哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？

答：彈性力學(xué)平面問題包括平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩類，兩類問題分別對應(yīng)的彈性體和特征分別為：

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二． 問答題(36)

1. （12分）試列出圖5-1的全部邊界條件，在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。（板厚

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）

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填空題（每個1分，共10×1=10分）。1．彈性力學(xué)的研究方法是在彈性區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件，即 邊界條件和 邊界條件。

2．彈性力學(xué)基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。

1．平衡微分 幾何 物理 應(yīng)力 位移

? ?2．連續(xù) 均勻 各向同性 完全彈性 小變形

一、 單項(xiàng)選擇題（每個2分，共5×2=10分）。

1. 關(guān)于彈性力學(xué)的正確認(rèn)識是 A 。

A. 彈性力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計中的作用日益重要。

B. 彈性力學(xué)從微分單元體入手分析彈性體，因此與材料力學(xué)不同，不需要對問題作假設(shè)。

C. 任何彈性變形材料都是彈性力學(xué)的研究對象。

D. 彈性力學(xué)理論像材料力學(xué)一樣，可以沒有困難的應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)分析。

2. 所謂“完全彈性體”是指 B 。

A. 材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律。

B. 材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與加載時間歷史無關(guān)。

C. 本構(gòu)關(guān)系為非線性彈性關(guān)系。

D. 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系滿足線性彈性關(guān)系。

3. 所謂“應(yīng)力狀態(tài)”是指 B 。

A. 斜截面應(yīng)力矢量與橫截面應(yīng)力矢量不同。

B. 一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力隨著截面方位變化而改變。

C. 3個主應(yīng)力作用平面相互垂直。

D. 不同截面的應(yīng)力不同，因此應(yīng)力矢量是不可確定的。

4．彈性力學(xué)的基本未知量沒有 C 。

A. 應(yīng)變分量。

B. 位移分量。

C. 面力分量。

D. 應(yīng)力分量。

5．下列關(guān)于圣維南原理的正確敘述是 D 。

A. 邊界等效力系替換不影響彈性體內(nèi)部的應(yīng)力分布。

B. 等效力系替換將不影響彈性體的變形。

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C. 圣維南原理說明彈性體的作用載荷可以任意平移。

D. 等效力系替換主要影響載荷作用區(qū)附近的應(yīng)力分布，對于遠(yuǎn)離邊界的彈性體內(nèi)部的影響比較小。

二、 計算題（共15分）

如圖所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比重為

的液體，右側(cè)為自由表面。試寫出以應(yīng)力分量表示的邊界條件。

編輯切換為居中

四、計算題（共10分）

試考慮下面平面問題的應(yīng)變分量有否可能存在，若存在，需滿足什么條件？

，

，

；

解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即

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基本概念解釋（24分，6小題）

（1） 彈性力學(xué)的基本假定

（2） 平面應(yīng)變問題

（3） 平面應(yīng)力問題

（4） 圣維南原理

（5） 逆解法

1、 簡單題（40分，4題）

(1) 列出圖示全部邊界條件。

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(2) 求出下列應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)力分量，并考察該應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程

A：

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B：

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(3) 根據(jù)圣維南原理，比較圖示中OA邊的面力是否等效，

。

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2、 綜合題（36分）

（1） 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如圖），體力不計，

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，試用應(yīng)力函數(shù)

求解應(yīng)力分量。

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（2） 矩形截面的長柱，密度為

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，在一邊側(cè)面上受均布正應(yīng)力

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，試求應(yīng)力分量，體力不計。

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