記號

2022-01-08 10:15 作者:子瞻Louis 0人讀過 | 我要投稿

忽然意識到今后我的文章可能會用到一些記號，有些還是不同于其他地方的規(guī)定，為了以后的方便，本期就給它們整合在一起吧，

一般情況 $a%2Cb%2Cm%2Cn%2Ck%2Cq%2Cl%2Cr%2C%E2%80%A6%0A$ 表示整數， $t%2Cx%2Cy%2C%5Calpha%2C%5Cbeta%2C%5Cxi%2C%E2%80%A6$ 表示實數， $s%2Cz%2C%E2%80%A6$ 表示復數， $c%2Cc_0%2Cc_1%2C%E2%80%A6$ 表示正的常數， $%5Cvarepsilon%2C%5Cvarepsilon_1%2C%5Cvarepsilon_2%2C%E2%80%A6$ 表示非常小的正數， $p%2Cp_1%2Cp_2%2C%E2%80%A6$ 表示素數

所有整數的集合記為 $%5Cmathbb%20Z$ ，自然數集 $%5Cmathbb%20N$ ，實數集 $%5Cmathbb%20R$ ，復數集 $%5Cmathbb%20C$ ，所有素數的集合 $%5Cmathbb%20P$ ，

當用s表示復數時，通過 $s%3D%5Csigma%2Bit%5CRightarrow%20%5CRe%20(s)%3D%5Csigma%2C%5CIm(s)%3Dt$ 來規(guī)定它的實部與虛部， $%5Clog%20s%3D%5Cln%20s$ 表示s的對數取主值

$%5Cmax(x_1%2Cx_2%2C%E2%80%A6%2Cx_k)%2C%5Cmin(x_1%2Cx_2%2C%E2%80%A6%2Cx_k)$ 分別表示k個數中最大與最小的那個

通常情況下 $%5Bx%5D$ 表示不大于 $x$ 的最大整數，即整數部分， $%5C%7Bx%5C%7D%3Dx-%5Bx%5D$ 即 $x$ 的小數部分， $%7C%7Cx%7C%7C%3D%5Cmin%20(%5C%7Bx%5C%7D%2C1-%5C%7Bx%5C%7D%5C%20)$ 即 $x$ 到最近整數的距離

$a%5Cmid%20b$ 表示b整除a， $a%5Cnmid%20b$ 則表示b不整除a， $p%5El%20%5Cparallel%20n$ 表示 $p%5Cmid%20n$ 但 $p%5E%7Bl%2B1%7D%5Cnmid%20n$

$a%5Cequiv%20b%5Cmod%20n$ 表示同余，

以? $%5Cbar%20G$ ?表示復平面上區(qū)域? $G$ ?的閉包， $%5Cpartial%20G$ ?表示它的邊界，? $H(G)$ ?表示在? $G$ ?中解析的函數集合， $%5Cbar%7B%20%5Cmathbb%20C%7D%3A%3D%5Cmathbb%20C%5Ccup%5C%7B%5Cinfty%5C%7D$ ?為擴充復平面，對復平面上的無界域? $G$ ?，記其擴展邊界為? $%5Cpartial_%7B%5Cinfty%7DG%3A%3D%5Cpartial%20G%5Ccup%5C%7B%5Cinfty%5C%7D$ ?，而若? $G$ ?有界則? $%5Cpartial_%7B%5Cinfty%7DG%3A%3D%5Cpartial%20G$ ?.

大O符號（Big O notation）定義為：

$g(x)%3D%5Cmathcal%20O(f(x))%5Ciff%20g(x)%5Cll%20f(x)%5Ciff%20%20%7Cg(x)%7C%5Cle%20cf(x)$

其中c可以是依賴于某些參數的常數，這是個比較抽象的定義，實際它就是一個用來描述誤差的符號，會用在許多估計中，可以理解為不超過f（x）的誤差，有時也稱它為階

大θ符號（Big?theta?notation）：

$g(x)%3D%5CTheta(f(x))%5Ciff%20c_1f(x)%5Cle%20g(x)%5Cle%20c_2f(x)$

是比大O更精確的估計

小o符號

$g(x)%3Do(f(x))%5Ciff%20%5Clim_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bf(x)%7D%7Bg(x)%7D%3D0$

數論

$%5Comega(n)%2C%5COmega(n)$ 分別表示n的不同素因子個數與全部素因子個數，即不計算與計算重數后的素因子個數

恒等函數 $%5Cmathrm%7Bid%7D(n)%3Dn%2C1(n)%3D1$

Mobius函數

$%5Cmu(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A0%20%26%20%5Comega(n)%E2%89%A0%5COmega(n)%5C%5C%20(-1)%5Er%20%26%20%5Comega(n)%3D%5COmega(n)%3Dr%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

$f(n)%2Cg(n)$ 為一數論函數，則

$f*%20g(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7Df(d)g%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)%3D%5Csum_%7Bn%3Dab%7Df(a)g(b)$

為f與g的Dirichlet卷積，取 $g(n)%5Cequiv1$ ，則為Mobius變換 $%5Ctilde%20f(n)$ ：

$%5Ctilde%20f(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7Df(d)%5CRightarrow%20f(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7D%5Cmu(d)%5Ctilde%20f%5Cleft(%5Cfrac%20nd%5Cright)$

示性函數

$%5Cvarepsilon(n)%3D1%5Ccirc%5Cmu(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20n%3D1%5C%5C%200%20%26%20n%EF%BC%9E1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Euler函數 $%5Cphi(n)$ 表示與n互素且不超過n的整數個數，

$%5Cphi(n)%3Dn%5Cprod_%7Bp%5Cmid%20n%7D%5Cleft(1-%5Cfrac1p%5Cright)$

除數函數 $d(n)$ 表示n的除數個數，

$d(n)%3D%5Csum_%7Bd%5Cmid%20n%7D1$

von Mongoldt函數

$%5CLambda%20(n)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A%5Clog%20p%20%26%20%5Comega(n)%3D1%2Cn%3Dp%5Em%20%5C%5C%200%20%26%20%5Comega(n)%EF%BC%9E1%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Tchebychev psi、theta函數

$%5Cpsi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7D%5CLambda(n)%2C%5Cvartheta(x)%3D%5Csum_%7Bp%5Cle%20x%7D%5Clog%20p$

廣義反演

$f*%20g(n)%3D%5Cvarepsilon(n)$ ，則

$G(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Df(n)F%5Cleft(%5Cfrac%20xn%5Cright)%5CRightarrow%20F(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cle%20x%7Dg(n)G%5Cleft(%5Cfrac%20xn%5Cright)$

$G(s%2Cm)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)%5Cfrac%7BF(s%2Cmn)%7Dn%5CRightarrow%20F(s%2Cm)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20g(n)%5Cfrac%7BG(s%2Cmn)%7Dn$

對數積分函數

$%5Cmathrm%7BLi%7D(x)%3D%5Cint_0%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%3D%5Cint_2%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%2B%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%5Cto0%7D%5Cint_0%5E%7B1-%5Cvarepsilon%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D%2B%5Cint_%7B1%2B%5Cvarepsilon%7D%5E2%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D$

$%5Cmathrm%7Bli%7D(x)%3D%5Cint_2%5Ex%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20dt%7D%7B%5Cln%20t%7D$

常義Dirichlet級數

$f(n)$ 為數論函數，

$%5Cmathcal%20D(s%3Bf)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)n%5E%7B-s%7D$

廣義Dirichlet級數

$%5Clambda(n)%2Cf(n)$ 為數論函數

$%5Cmathcal%20D(s%3B%5Clambda%2Cf)%3D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty%20f(n)e%5E%7B-%5Clambda(n)s%7D$

分析

單位階躍函數

$u(t)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20t%EF%BC%9E0%5C%5C%20%5Cfrac12%20%26%20t%3D0%5C%5C%200%20%26%20t%EF%BC%9C0%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

Dirac delta函數

$%5Cdelta(t)%3D%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%0A1%20%26%20t%3D0%5C%5C%200%20%26%20t%E2%89%A00%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

常義卷積

$f*g(x)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)g(x-t)%5Cmathrm%20dt$

Fourier變換

$%5Cmathcal%20F%5C%7Bf%5C%7D(%5Cxi)%3D%5Chat%20f(%5Cxi)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20f(t)e%5E%7B-i%5Cxi%20t%7D%5Cmathrm%20dt$

$%5Cmathcal%20F%5E%7B-1%7D%5C%7B%5Chat%20f%5C%7D(t)%3Df(t)%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty%20%5Chat%20f(%5Cxi)e%5E%7Bi%5Cxi%20t%7D%5Cmathrm%20d%5Cxi$

Laplace變換

$%5Cmathcal%20L%5C%7Bf%5C%7D(s)%3DF(s)%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7Df(t)e%5E%7B-st%7D%5Cmathrm%20dt$

$%5Cmathcal%20L%5E%7B-1%7D%5C%7BF%5C%7D(t)%3Df(t)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Csigma-i%5Cinfty%7D%5E%7B%5Csigma%2Bi%5Cinfty%7DF(s)e%5E%7Bst%7D%5Cmathrm%20ds$

Mellin變換

$%5Cmathcal%20M%5C%7Bg%5C%7D(s)%3DG(s)%3D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20g(x)x%5E%7Bs-1%7D%5Cmathrm%20dx$

$%5Cmathcal%20M%5E%7B-1%7D%5C%7BG%5C%7D(t)%3Dg(t)%3D%5Cfrac1%7B2%5Cpi%20i%7D%5Cint_%7B%5Csigma-i%5Cinfty%7D%5E%7B%5Csigma%2Bi%5Cinfty%7D%20G(s)x%5E%7B-s%7D%5Cmathrm%20ds$