什么樣的人才能躺平？什么樣的人必須內(nèi)卷？

最近有兩個(gè)詞非常流行，那就是躺平與內(nèi)卷。按我的理解，躺平大概的意思是在生活的壓力下放棄抵抗，放棄不切實(shí)際的加班升值掙錢(qián)買(mǎi)房的幻想，逆來(lái)順受。而內(nèi)卷卻恰好相反：指代行業(yè)內(nèi)部非理性的、毫無(wú)價(jià)值的競(jìng)爭(zhēng)。比如無(wú)休止的復(fù)習(xí)、加班、修改方案，為了一個(gè)升學(xué)、升職或者加薪機(jī)會(huì)而拼命等等。

有許多小朋友問(wèn)我：自己究竟應(yīng)該躺平還是內(nèi)卷呢？?jī)?nèi)卷人人都可以，躺平卻是需要條件的。今天我從數(shù)學(xué)角度來(lái)給大家講講：為什么不是每個(gè)人都能躺平。這要用到微分幾何中的一條定理——高斯絕妙定理。

一.? 曲率半徑和曲率

微分幾何起源于數(shù)學(xué)家們對(duì)于曲線(xiàn)和曲面的研究，如今已經(jīng)成為廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)，與拓?fù)鋵W(xué)和理，論物理密切相關(guān)。這個(gè)理論特別復(fù)雜，普通人很難理解它的全貌。不過(guò)高斯絕妙定理倒沒(méi)有那么復(fù)雜：它就是告訴我們什么樣的曲面可以躺平，什么樣的曲面必須內(nèi)卷。

我們首先來(lái)介紹一下曲率半徑和曲率的概念。生活中有各種各樣的曲線(xiàn)，每一種曲線(xiàn)，每一個(gè)點(diǎn)，彎曲程度都可能不同，如何衡量每個(gè)點(diǎn)的彎曲程度呢？

數(shù)學(xué)家們想到了一個(gè)方法：用一個(gè)與曲線(xiàn)密切貼合的圓來(lái)代表這一小段曲線(xiàn)，數(shù)學(xué)上可以證明：對(duì)于一個(gè)平滑曲線(xiàn)，在曲線(xiàn)的每一個(gè)點(diǎn)這樣的圓都是唯一的，這樣的圓叫做曲率圓，曲率圓的半徑叫做曲率半徑ρ。人們又把曲率半徑的倒數(shù)叫做曲率k，它用來(lái)描述曲線(xiàn)彎曲的程度。

大家看：一個(gè)曲線(xiàn)的不同位置，曲率半徑是不同的：

1.?躺平的曲率是0：曲線(xiàn)越平緩的地方，曲率半徑越大，曲率就越小。對(duì)于一條直線(xiàn)，與它密接的圓形是無(wú)限大，即曲率半徑ρ無(wú)限大，曲率k就是0。

2.?越卷曲率越大：曲線(xiàn)越彎曲的地方，曲率半徑越小，曲率就越大。如果一個(gè)地點(diǎn)特別彎，曲率半徑就接近于0，曲率就趨近于無(wú)窮大，這就叫非常卷。

而且，我們還可以對(duì)曲線(xiàn)規(guī)定一個(gè)正方向，如果曲線(xiàn)的彎曲方向和規(guī)定的方向一致，我們就說(shuō)曲率是正的，我們可以叫它外卷（如果非要讓我說(shuō)什么是外卷，那可能就是與內(nèi)卷相反，開(kāi)會(huì)不去工作不做，專(zhuān)門(mén)跟領(lǐng)導(dǎo)對(duì)著干，等待被開(kāi)除吧）；如果彎曲方向與規(guī)定方向相反，就說(shuō)曲率是負(fù)的，就叫內(nèi)卷。比如下面這個(gè)曲線(xiàn)上各個(gè)點(diǎn)，曲率半徑就會(huì)在正、負(fù)、零之間切換，好比一個(gè)人在人生的不同階段，反復(fù)外卷、躺平和內(nèi)卷。

二.? 主曲率

現(xiàn)在，我們從曲線(xiàn)升級(jí)到曲面。對(duì)于一個(gè)曲面來(lái)講，不同方向會(huì)有不同的彎曲程度。我們來(lái)看一個(gè)香蕉的內(nèi)側(cè)：它沿著某個(gè)方向，是突起（外卷）的，沿著另一個(gè)方向卻是凹陷（內(nèi)卷）的，而且二者彎曲的程度也不一樣。

用一個(gè)平面去切割曲面，就會(huì)得到一條相交線(xiàn)，這條相交線(xiàn)在這一點(diǎn)就存在曲率。當(dāng)我們旋轉(zhuǎn)這個(gè)平面的時(shí)候，就會(huì)獲得很多條切割線(xiàn)。比如一個(gè)煙囪，我們橫著切，會(huì)切出一個(gè)圓形，豎著切，會(huì)切出類(lèi)似于雙曲線(xiàn)的形狀。好像一個(gè)人，在某些方面是內(nèi)卷的，在某些方面又是外卷的。

在1760年，微分幾何的奠基人之一、著名的數(shù)學(xué)家歐拉證明了一個(gè)定理：在一個(gè)曲面上的某個(gè)點(diǎn)做不同的切割面，獲得很多條切割曲線(xiàn)，這些曲線(xiàn)中曲率最大的那條和曲率最小的兩條曲線(xiàn)的曲率叫做主曲率。主曲率對(duì)應(yīng)的平面叫做主平面，主平面一定是互相垂直的。

比如剛剛的香蕉和煙囪，主曲率都是一正一負(fù)，兩個(gè)主方向也是互相垂直的。

大家能看出平面的主曲率有多大嗎？因?yàn)闊o(wú)論如何切割，用平面切割平面得到的都是直線(xiàn)，所以平面上的各個(gè)方向曲率都是0。平面是一種比較特殊的曲面。就好像一個(gè)人，他在任何方面都既不內(nèi)卷也不外卷，這才是真正的躺平了。

三.? 高斯絕妙定理

下面，我們繼續(xù)升級(jí)。在二維平面上，直線(xiàn)可以彎曲成曲線(xiàn)。同樣，在三維空間中，平面也可以彎成曲面。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：在直線(xiàn)變成曲線(xiàn)，或者平面變成曲面，或者曲面變成更彎曲的曲面時(shí)，曲率和主曲率都會(huì)發(fā)生變化。

不過(guò)，并非所有的幾何量都發(fā)生變化了。一條直的線(xiàn)段彎曲時(shí)，或者線(xiàn)段所在平面在三維空間中發(fā)生彎曲時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度就沒(méi)有發(fā)生變化，我們把線(xiàn)段長(zhǎng)度叫做內(nèi)蘊(yùn)量，意思是：它的結(jié)果與高維度空間的彎曲程度沒(méi)有關(guān)系，類(lèi)似于彎曲這樣的變換，叫做等距變換。無(wú)論我們內(nèi)卷、外卷還是躺平，一天都是24小時(shí)，這就是內(nèi)蘊(yùn)量。

有了以上的知識(shí)，我們就可以理解高斯絕妙定理了。1827年，微分幾何的另一個(gè)奠基者、史上最偉大的數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)：如果曲面上某個(gè)點(diǎn)的主曲率分別是k1和k2，它們的乘積叫做高斯曲率。當(dāng)曲面在高維空間發(fā)生彎曲時(shí)，主曲率的值都會(huì)變化，但是它們的乘積K=k1k2卻保持不變。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)就是：在等距變換下局部的高斯曲率保持不變。

我們來(lái)舉個(gè)例子：比如一個(gè)比薩：最初它是平面，主曲率處處為零，高斯曲率也是處處為零。當(dāng)我們吃比薩的時(shí)候，比薩可以彎曲，兩個(gè)主曲率發(fā)生了變化，但是高斯曲率為零是不會(huì)發(fā)生變化的。也就是說(shuō)：在它發(fā)生彎曲時(shí)，一定有一個(gè)曲率為零的方向——在這個(gè)方向上比薩上的點(diǎn)構(gòu)成一條直線(xiàn)。

比如，我們可以拿著比薩的后部，比薩前方就會(huì)下垂，比薩中央這個(gè)點(diǎn)的主方向?qū)?yīng)的曲線(xiàn)分別是紅線(xiàn)和黑線(xiàn)。紅色是直線(xiàn)，曲率為零，于是這個(gè)點(diǎn)高斯曲率也為零，與最初的平面相同。

我們也可以用力掐比薩后部的一點(diǎn)，讓比薩凹進(jìn)去，剛才的曲線(xiàn)變成了直線(xiàn)、直線(xiàn)變成了曲線(xiàn)，但這個(gè)點(diǎn)的高斯曲率還是為零，不變化。

我們?cè)賮?lái)看看薯片。薯片中央的一點(diǎn)兩個(gè)主曲率完全方向相反，符號(hào)相反，所以這個(gè)點(diǎn)的高斯曲率是負(fù)的。在我們的三維空間中，貌似很難將薯片進(jìn)行彎曲，因?yàn)闊o(wú)論如何彎曲都會(huì)造成一部分的擠壓或者另一部分分的斷裂。

不過(guò)，在數(shù)學(xué)上的曲面具有無(wú)限的韌性，可以發(fā)生意想不到的彎曲。比如螺旋曲面和懸鏈曲面看起來(lái)完全不同，但是它們是可以通過(guò)彎曲變換出來(lái)的。

假如在數(shù)學(xué)上我們可以將薯片進(jìn)行彎曲變換，薯片的形狀可能變得面目全非，主方向和主曲率也與我們的測(cè)量不同。不過(guò)，如果我們?nèi)ビ?jì)算這一點(diǎn)的高斯曲率的話(huà)，它的結(jié)果卻會(huì)和最初一樣。這簡(jiǎn)直是太神奇了！高斯當(dāng)年發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律的時(shí)候情不自禁，就自己起了個(gè)“絕妙定理”的名字。

多說(shuō)一句：高斯的得意門(mén)生黎曼將高斯的曲面理論發(fā)揚(yáng)光大，創(chuàng)立了黎曼幾何。在愛(ài)因斯坦創(chuàng)立廣義相對(duì)論的過(guò)程中，他敏銳的發(fā)現(xiàn)我們的時(shí)空其實(shí)是彎曲的，不能用通常的歐幾里得幾何解釋?zhuān)怯挚嘤谡也坏礁玫墓ぞ?。他向自己的同學(xué)，幾何學(xué)家格羅斯曼求助，格羅斯曼把黎曼幾何介紹給了愛(ài)因斯坦，利用這個(gè)數(shù)學(xué)工具，愛(ài)因斯坦終于創(chuàng)立了廣義相對(duì)論。愛(ài)因斯坦自己都說(shuō):他沒(méi)想到宇宙的真理居然存在于數(shù)學(xué)中。

四.? 什么樣的人才能躺平

高斯絕妙定理可以解釋許多有關(guān)曲面的問(wèn)題。比如：最初人們發(fā)現(xiàn)無(wú)論如何也不能將地圖準(zhǔn)確的畫(huà)在平面上，這是為什么呢？

原因是：平面的高斯曲率是0。根據(jù)高斯絕妙定理，如果一個(gè)曲面可以展開(kāi)成平面，曲面上任何一個(gè)點(diǎn)高斯曲率必須是0。也就是說(shuō)：過(guò)曲面上每個(gè)點(diǎn)都至少有一條直線(xiàn)，曲面才有可能展開(kāi)成平面。

比如：圓柱、圓錐都可以展開(kāi)成平面，因?yàn)樗哪妇€(xiàn)是直線(xiàn)。球面不能展開(kāi)成平面，因?yàn)榍蛎嫔先魏我粋€(gè)點(diǎn)主曲率都是同號(hào)的，高斯曲率是正的。在等距變換下，無(wú)法展開(kāi)成平面。

所以理論上講，沒(méi)有辦法在一個(gè)平面上畫(huà)出世界地圖，因?yàn)榈厍蚴乔蝮w，不能展開(kāi)成平面。人們采用各種各樣的投影法，畫(huà)出地圖的近似情況，比如墨卡托投影法，就是把地球投影到一個(gè)圓柱上，然后再把圓柱展開(kāi)。這樣做的結(jié)果就是兩極地區(qū)的面積會(huì)變得很大，看起來(lái)格陵蘭島比非洲還要大，南極洲更是跟整個(gè)亞歐大陸差不多大。

講了這么多，大家是不是明白了？躺平和內(nèi)卷其實(shí)是有天生區(qū)別的。能夠躺平的人內(nèi)卷度（高斯曲率）必須是零，也就是即使他們?cè)谀硞€(gè)方面非常內(nèi)卷（曲率很大）但是一定在另一方面本來(lái)就是躺平的（曲率為零），這樣當(dāng)他們想要躺平的時(shí)候，就會(huì)非常容易辦到（圓柱體展開(kāi)成平面）。

但一個(gè)原本在各個(gè)方面都內(nèi)卷的人（如球體表面），可以在一個(gè)方面多卷一些，在另一方面少卷一些，但是總的內(nèi)卷程度（高斯曲率）是不變的，也根本不可能躺平。如果一個(gè)原本內(nèi)卷的人非要躺平，就會(huì)像橘子皮一樣裂開(kāi)了。

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