【高...考...物理】分而治之2—洛倫茲力沖量深入：正則動(dòng)量、對稱性
承接上文：
先回答上次留下的一個(gè)問題：
如圖，電子以初速度v進(jìn)入場強(qiáng)為E的偏轉(zhuǎn)電場，離開電場后進(jìn)入有左邊界的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B。試分析電子重新回到磁場左邊界時(shí)向上偏移距離d與初速度v的關(guān)系。
{解} 由洛倫茲力沖量特點(diǎn)知：??，那么我們就得到?
??？梢园l(fā)現(xiàn)，
?，且y和電場強(qiáng)度無關(guān)。這個(gè)基本模型在很多壓軸大題里面都有體現(xiàn)，有時(shí)直接使用就可以整體化的解決問題（而非分步繁瑣地考慮）
比如此題：
第二問就直接使用洛倫茲力沖量可以迅速找到思路。
總之，“分而治之———洛倫茲力沖量”的思想在磁場中很有用。
（回歸標(biāo)題）
經(jīng)一位前物競大佬的點(diǎn)撥，這個(gè)“洛倫茲力沖量”好像本質(zhì)是“正則動(dòng)量”，于是筆者嘗試探究了一下“正則動(dòng)量”。
（可能部分與高中知識無關(guān)，但可以對此了解更加深刻）
正文開始
諾特定理(Noether's theorem)
奇異積分方程的基本定理，理論物理的中心結(jié)果之一。
諾特定理指【任何關(guān)于物理系統(tǒng)作用量的微分對稱性都有一個(gè)對應(yīng)的守恒律】
上述命題中的“對稱性”一詞精確一點(diǎn)來說是指物理定律在滿足某種技術(shù)要求的一維李群作用下所滿足的協(xié)變性。物理量的守恒定律通常用連續(xù)性方程表達(dá)。定理的形式化命題僅從不變性條件就導(dǎo)出和一個(gè)守恒的物理量相應(yīng)的流的表達(dá)式。該守恒量稱為諾特荷，而該流稱為諾特流。諾特流至多相差一個(gè)無散度向量場。
這個(gè)定理的內(nèi)容、表述和證明很顯然???(遠(yuǎn)超出)筆者的知識水平，并且現(xiàn)在也無法一蹴而就。但首先列出這個(gè)定理，是因?yàn)樗沂玖宋锢韺W(xué)深層次的本質(zhì)——三大守恒定律動(dòng)量、能量、角動(dòng)量守恒跟相應(yīng)的時(shí)空對稱性的關(guān)系。下面解釋來自百度百科，筆者覺得講得淺顯易懂，值得看一看！
【空間均勻性（平移對稱性）與動(dòng)量守恒】空間是均勻的，也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一樣的，物理定律在空間平移（不如從地球移到月亮上）變換下是不變的，由諾特定理可以得到存在這么一個(gè)守恒量——動(dòng)量。
【空間各項(xiàng)同性（旋轉(zhuǎn)對稱性）與角動(dòng)量守恒】空間是各向同性的，也就是空間沒有一個(gè)特殊的方向，我們?nèi)我馊∽鴺?biāo)軸的方向，雖然物理量的數(shù)值在各個(gè)坐標(biāo)系當(dāng)中可能是不一樣的，但物理定律所對應(yīng)的方程是不變的，比如牛頓運(yùn)動(dòng)定律F=ma（矢量形式）在空間旋轉(zhuǎn)變換下是不變的，我們把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，雖然矢量的各個(gè)分量變了，但總的方程F=ma（矢量形式）是不變的，這樣，在牛頓力學(xué)當(dāng)中，就存在著一個(gè)跟空間各向同性相對應(yīng)的守恒量——角動(dòng)量。
【時(shí)間均勻性（反演對稱性）跟能量守恒】同樣，由時(shí)間均勻性，也就是過去、現(xiàn)在、未來物理定律是一樣的，由諾特定理可以得出存在這么一個(gè)守恒量——能量。
由此可以看出，從本質(zhì)上來說，只受洛倫茲力的帶電粒子“正則動(dòng)量守恒”恰是因?yàn)?strong>磁場的平移對稱性。進(jìn)一步的，上面還提及了正則角動(dòng)量守恒。我們可以推一下正則動(dòng)量守恒和正則角動(dòng)量守恒（B垂直紙面向內(nèi)）。
正則動(dòng)量守恒（正負(fù)號與所建的為左右手系有關(guān)）：
?，
?????。
那么兩邊對時(shí)間進(jìn)行積分有（只列出其中一個(gè)）：
?,?
?為常數(shù)
移項(xiàng)得：?，
?。
這里的? 也就是我們所稱的一種“正則動(dòng)量”，兩個(gè)物理量都是守恒量。
正則角動(dòng)量守恒（如下圖）：
?，
兩邊積分有：
與上面一樣，? 也是我們所稱的一種“正則角動(dòng)量”。
廣義動(dòng)量&角動(dòng)量
為什么剛剛說的都是呢？這就與分析力學(xué)里的廣義動(dòng)量和角動(dòng)量守恒有關(guān)了，涉及到拉格朗日方程等。筆者作為“門外漢”，也只能搬運(yùn)一下，以作了解......<_<
廣義動(dòng)量（使用歐拉-拉格朗日方程）
廣義角動(dòng)量
所以說，剛剛推導(dǎo)的，只是特定情況下的守恒?？梢哉f頗有“管中窺豹”之感。<_<
并且正則動(dòng)量守恒的推導(dǎo)好像也不是這么簡單（簡化了而已），實(shí)際上要從哈密頓量出發(fā)（與拉格朗日量無本質(zhì)區(qū)別），參考趙凱華教授論文。
【A】是磁矢勢！
總的來說，我們使用的洛倫茲力沖量背后是極其深刻的道理。這篇專欄整了很久，雖然現(xiàn)在看可以說一頭霧水，但在這一步步探究中，總還是收獲了很多樂趣，也不負(fù)此行一場吧！<_<
