[高中數(shù)學(xué)] 函數(shù)單調(diào)性與值域 (Ⅲ)

2021-12-01 23:03 作者:momonaの男友 0人讀過(guò) | 我要投稿

在第一講中，我們介紹到了一些簡(jiǎn)單基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性，

而在第二講中，我們介紹了這些簡(jiǎn)單基礎(chǔ)函數(shù)的一些簡(jiǎn)單的組合形式，

例如，兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的和函數(shù)，以及復(fù)合函數(shù)。

但是對(duì)于任意的函數(shù)，就像是兩個(gè)函數(shù)之積，我們?nèi)匀皇菬o(wú)法判斷單調(diào)性

如函數(shù) $y%3D%20x%5Cln%20x%20$ ，

甚至連最簡(jiǎn)單基礎(chǔ)的兩個(gè)函數(shù)之和都無(wú)法判斷單調(diào)性，

如函數(shù) $y%20%3D%20-x%2B%5Cln%20x%20$ ，而且這些都是形式簡(jiǎn)潔的函數(shù)，

即使是如此簡(jiǎn)潔，我們都無(wú)法判斷單調(diào)性，就別提值域了，這顯然是不符合我們的要求的。

那么本講中，我們將會(huì)開啟新的篇章，

開始介紹函數(shù)單調(diào)性中一個(gè)極為重要的概念，

導(dǎo)函數(shù)，一般簡(jiǎn)稱為，導(dǎo)數(shù)，但實(shí)際上還是有點(diǎn)區(qū)別的，可以參考教科書，我們這里不作區(qū)分

我們回憶一下，什么叫做斜率呢？

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 $%EF%BC%88x1%2Cy1%EF%BC%89%E5%92%8C(x2%2Cy2)$ ，則兩點(diǎn)連線的斜率，就是 $k%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%3D%5Cfrac%7By2-y1%7D%7Bx2-x1%7D%20$ ，如圖所示

看到這條直線，我們又很容易想到了我們最初學(xué)到的，一次函數(shù)！

$y%3Dkx%2Bb$

我們知道，對(duì)于這樣的函數(shù)，當(dāng) $(2%2Ce%5E2%20)$ ，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng) $k%3C0$ ，函數(shù)體現(xiàn)為減函數(shù)。

從而我們?nèi)菀讛嗾摚?/p>

當(dāng)兩點(diǎn)連線的斜率 $k%3E0$ ，則兩點(diǎn)之間表現(xiàn)為增，當(dāng)兩點(diǎn)連線斜率 $k%3C0$ ，則兩點(diǎn)表現(xiàn)為減。

知道這一事實(shí)后，便可以開始我們的暴論了！

我記得我們高一物理的時(shí)候，就開始介紹過(guò)切線，那么切線究竟是如何得到的呢？

這里我們以圖為例，進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明。

不妨將A點(diǎn)固定在點(diǎn)（0,1），讓點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)起來(lái)，依次得到AB1、AB2.....ABn，每次都連接AB，得到對(duì)應(yīng)的斜率。

當(dāng)B1在 $(2%2Ce%5E2%20)$ ，便得到斜率 $k%20%3D%20%5Cfrac%7B(e%5E2%20-%201%20)%7D%7B2%7D%20$ ，我們很容易知道，A到B1是有一個(gè)增大的趨勢(shì)，但只是A到B1這個(gè)結(jié)果，因?yàn)槲覀冎皇峭ㄟ^(guò)這兩點(diǎn)得到的斜率，沒(méi)有得到其他信息。那么A到B這個(gè)過(guò)程到底是如何的呢？

那我們不妨讓B慢慢的靠近A，

當(dāng)B位于B2,也即 $(1%2Ce)$ ，得到斜率 $k%20%3De-1$ ，這說(shuō)明A到B2也還是有遞增的趨勢(shì)，還是和上面一樣，得不到我們想要的結(jié)果。

現(xiàn)在，當(dāng)我們的B到達(dá)了A的前面一點(diǎn)點(diǎn)的位置，也即 $x%20%3D%20%5CDelta%20x(%5CDelta%20x%5Crightarrow%200)$ ，注意，這里是因?yàn)锳點(diǎn)滿足 $x%3D0$ 。

更一般的，若點(diǎn)A在 $x%3Dx1$ 時(shí)，此時(shí)B則變成 $x%20%3D%20x1%2B%5CDelta%20x(%5CDelta%20x%5Crightarrow%200)$ ，就因?yàn)檫@樣，我們才說(shuō)B點(diǎn)剛好在A點(diǎn)前面一點(diǎn)點(diǎn)！

那么此時(shí)AB之間的斜率呢？

$k%20%3D%20%5Cfrac%7Bf(x1%2B%5CDelta%20x)-f(x1)%7D%7B(x1%2B%5CDelta%20x)-x1%7D%20$ ， $(%5CDelta%20x%5Crightarrow%200)$ （ $f(x)$ 即函數(shù) $f(x)%3De%5Ex%20$ ）

這樣似乎后面吊著個(gè)尾巴，不好看，于是我們寫作，

$k%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x1%2B%5CDelta%20x)-f(x1)%7D%7B(x1%2B%5CDelta%20x)-x1%7D%20%20$

那么現(xiàn)在我們得到的是，

AB兩點(diǎn)連線的斜率，我們知道，此時(shí)的B已經(jīng)在A的前面很近很近，幾乎是中間插不進(jìn)任何東西了！(由實(shí)數(shù)的稠密性知道，并非如此，但我就是要這么說(shuō)?。。≈皇菫榱藦?qiáng)調(diào)兩者的逼近)

從而我們知道，A點(diǎn)向后走，我們把數(shù)值帶入有，

$k%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x1%2B%5CDelta%20x)-f(x1)%7D%7B(x1%2B%5CDelta%20x)-x1%7D%20%20%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B0%2B%5CDelta%20x%7D%20-%20e%5E0%20%20%7D%7B(0%2B%5CDelta%20x)-0%7D%20$

$%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7B%5CDelta%20x%7D-1%20%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%3D1$

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=k%3E0" alt="k%3E0">，所以在AB之間是有增長(zhǎng)的趨勢(shì)的。

而AB之間幾乎容不得任何其他東西，所以我們可以說(shuō)，A點(diǎn)之后，有增長(zhǎng)趨勢(shì)！

這里，我們是針對(duì)固定的這個(gè)A點(diǎn)，但是A點(diǎn)其實(shí)也是可以運(yùn)動(dòng)的。

于是我們讓A點(diǎn)也動(dòng)起來(lái)，而B點(diǎn)隨著A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)！

那么斜率就是

$k%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7B(x%2B%5CDelta%20x)-x%7D%20%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%20$

我們就得到了一個(gè)奇怪的東西，

$%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%20$ ，這個(gè)東西實(shí)際上只與x有關(guān)，表達(dá)的是什么意義呢？就是x點(diǎn)的斜率，也就他的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。

正是因?yàn)檫@個(gè)特殊的東西，我們將他命名為，導(dǎo)函數(shù)。

將其這樣書寫，

$f'(x)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%20$

從上面的分析我們知道，實(shí)際上，這個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的就是各點(diǎn)的切線斜率值。(斜率不就意味著他的增減趨勢(shì)嘛？！)

然后我們就很輕松的能夠得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)了。

這里直接給出相關(guān)的導(dǎo)數(shù)公式。(注：非x的字母，默認(rèn)為常數(shù)!)

$f(x)%3DC%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3D0$

$f(x)%3Dx%5En%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3Dnx%5E%7Bn-1%7D%20$

$f(x)%3Da%5Ex%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3Da%5E%7Bx%7D%20%5Cln%20a%20$

$f(x)%3D%5Clog_a%20x%20%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5Cln%20a%20%7D%20$

$f(x)%3Dsinx%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3Dcosx%20$

$f(x)%3Dcosx%20%E6%97%B6%EF%BC%8Cf'(x)%3D-sinx%20$

這些便是最為基礎(chǔ)的。

同時(shí)我們也要知道，導(dǎo)數(shù)也有四則運(yùn)算。

不妨設(shè)? $u%20%3Du(x)%EF%BC%8Cv%3Dv(x)$

那么又有

$(u%2Bv)'%20%3D%20u'%2Bv'$

$(u-v)'%3Du'-v'$

$(uv)'%3Duv'%2Bvu'$

$(%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%20)'%3D%5Cfrac%7Bu'v-v'u%7D%7Bv%5E2%20%7D%20$

這些都是要記憶的，

對(duì)于乘法，我是這樣記憶的。

我們不妨把求導(dǎo) 想象成 “打臉”

兩個(gè)積的導(dǎo)

先把左邊的臉打一下，再乘上右邊的，

那左邊的被打了，右邊的憑什么不打？

要雨露均沾，

所以同樣的操作來(lái)一遍，

就有了上式。

以上都是開玩笑的，切勿傷害同學(xué)感情哦~

現(xiàn)在有了理論基礎(chǔ)，我們就可以開始了。

比如對(duì)于先前的函數(shù) $y%20%3D%20-x%2B%5Cln%20x%20$ ，那他的單調(diào)性怎么判斷呢？

令 $f(x)%3D-x%2B%5Cln%20x%20$ ，有 $f'(x)%3D-1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%5Cfrac%7B1-x%7D%7Bx%7D%20$

我們知道，當(dāng) $f'(x0)$ 的值大于0時(shí)，也就意味著該點(diǎn)的切線斜率 $k$ 是大于0的，表明在該點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

那么什么時(shí)候， $f'(x)%3E0$ 呢？很容易得到，當(dāng) $0%3Cx%3C1$ ，是如此。

也就是說(shuō)明，函數(shù)在這段區(qū)域，有向上增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

同理，當(dāng) $x%3E1$ 時(shí)，函數(shù)有減小的趨勢(shì)。

那么 $x%3D1$ 作為分界點(diǎn)，是什么特殊的值呢？很明顯，這是個(gè)極大值。

綜上分析，我們知道：

$%E5%87%BD%E6%95%B0f(x)%E5%9C%A8(0%2C1)%E4%B8%8A%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%80%92%E5%A2%9E%EF%BC%8C%E5%9C%A8(1%2C%2B%E2%88%9E)%E4%B8%8A%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%80%92%E5%87%8F%E3%80%82%E5%9C%A8x%3D1%E6%97%B6%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BCf(1)%3D-1$

如圖所示。

圖像顯示的和我們預(yù)想的是一致的。

關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三言兩語(yǔ)是很難說(shuō)清楚的。

大家做多了便能夠輕易的發(fā)現(xiàn)，這需要我們對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)具有清晰的判斷能力。

而往往很多函數(shù)的零點(diǎn)卻又不是那么容易找到！

這又會(huì)涉及到很多問(wèn)題。

這里不作太多深入的探討。

常見的函數(shù)分析題型，

$f(x)%3Dx%5E2%20-x-%5Cln%20x%20$

對(duì)于含有 $%5Cln%20x%20$ 的是十分特殊的，因?yàn)樗膶?dǎo)數(shù)會(huì)退化成很簡(jiǎn)單的反比例函數(shù)，便與我們前面所熟悉的冪函數(shù)達(dá)到了一致。也就容易分析起來(lái)了。

如對(duì)于上式，我們有

$f'(x)%3D2x-1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%3D%5Cfrac%7B2x%5E2%20-x-1%7D%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B(2x%2B1)(x-1)%7D%7Bx%7D%20%20$

從而很容易得出，

$%E5%87%BD%E6%95%B0f(x)%E5%9C%A8(0%2C1)%E4%B8%8A%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%80%92%E5%87%8F%EF%BC%8C%E5%9C%A8(1%2C%2B%E2%88%9E)%E4%B8%8A%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%80%92%E5%A2%9E%EF%BC%81$

大家可以看到，實(shí)際上上面所介紹的，仍然是簡(jiǎn)單的函數(shù)。

那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)呢？

值得一提的是，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)遵循一個(gè)原則，

鏈?zhǔn)椒▌t

那么什么叫鏈?zhǔn)椒▌t呢？

我們?nèi)宰鞯诙v中的說(shuō)法，

$%E8%AE%BEf(x)%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%86%99%E4%BD%9Cf(t)%E4%B8%94t%3D%5Cvarphi%20(x)%EF%BC%8C%E5%8D%B3f(%5Cvarphi%20(x))$

我們不妨簡(jiǎn)推導(dǎo)他的計(jì)算公式

$f'(x)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(x%2B%5CDelta%20x)-f(x)%7D%7Bt(x%2B%5CDelta%20x)-t(x)%7D%5Cfrac%7Bt(x%2B%5CDelta%20x)-t(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20$

$%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20%5Cfrac%7Bf(t(x%2B%5CDelta%20x))-f(t(x))%7D%7Bt(x%2B%5CDelta%20x)-t(x)%7D%5Cfrac%7Bt(x%2B%5CDelta%20x)-t(x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%20%20%20$

$%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%5Cto0%7D%20f'(t(x))t'(x)%20%3Df'(t)t'(x)%3Df'(t)%5Cvarphi%20(x)$

總之，上述說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題，復(fù)合函數(shù)，也可以通過(guò)求導(dǎo)解決單調(diào)性問(wèn)題。

例如對(duì)于從前我們所學(xué)過(guò)的

$f(x)%3D%5Cln%20%7B(3-2x)%7D%20$ ，我們知道可以寫作

$f(t)%3D%5Cln%20t%20%E4%B8%94t%3D%5Cvarphi%20(x)%3D3-2x$ ，

從而我們得到 $f'(t)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D$ ， $%5Cvarphi%20'(x)%3D-2$

整理帶入一下，即有

$f'(x)%3D%5Cfrac%7B-2%7D%7B3-2x%7D%20$ ，我們又知道，定義域?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%EF%BC%88-%E2%88%9E%EF%BC%8C%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%EF%BC%89" alt="%EF%BC%88-%E2%88%9E%EF%BC%8C%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%EF%BC%89">，故 $f'(x)%3C0$ 恒成立。