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常系數(shù)線性差分方程的解法

2023-04-06 11:51 作者:達(dá)生 0人讀過(guò) | 我要投稿

遞推方程 $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7Bn%7D$ （1）

稱為m階常系數(shù)線性差分方程，其中 $a_%7B0%7D%2Ca_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D%2C...%2Ca_%7Bm%7D$ 為常數(shù)， $x_%7Bn%7D$ 為已知數(shù)列， $y_%7Bn%7D$ 是待求數(shù)列。

若 $x_%7Bn%7D$ 不恒為0，則稱式（1）為非齊次線性差分方程；若 $x_%7Bn%7D%5Cequiv%200$ ，則式（1）變?yōu)?/p>

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3D0$ （2）

稱式（2）為齊次線性差分方程，或方程（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程。

一.?線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)

定理1：齊次線性差分方程解的疊加原理

設(shè) $y_%7B1n%7D%2Cy_%7B2n%7D%2Cy_%7B3n%7D%2C...%2Cy_%7Bkn%7D$ 是齊次線性差分方程（2）的解，則它們的線性組合

$c_%7B1%7Dy_%7B1n%7D%2Bc_%7B2%7Dy_%7B2n%7D%2Bc_%7B3%7Dy_%7B3n%7D%2B...%2Bc_%7Bk%7Dy_%7Bkn%7D$

也是方程（2）的解，其中 $c_%7B1%7D%2Cc_%7B2%7D%2Cc_%7B3%7D%2C...%2Cc_%7Bk%7D$ 為任意常數(shù)。

定理2：非齊次線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)

設(shè) $%5Cbar%7By_%7Bn%7D%7D%20$ 是非齊次線性差分方程（1）的解， $y_%7B1n%7D%2Cy_%7B2n%7D%2Cy_%7B3n%7D%2C...%2Cy_%7Bkn%7D$ 是方程（1）對(duì)應(yīng)的齊次方程（2）的解，則 $c_%7B1%7Dy_%7B1n%7D%2Bc_%7B2%7Dy_%7B2n%7D%2Bc_%7B3%7Dy_%7B3n%7D%2B...%2Bc_%7Bk%7Dy_%7Bkn%7D%2B%5Cbar%7By_%7Bn%7D%7D%20$ 也是方程（1）的解，其中 $c_%7B1%7D%2Cc_%7B2%7D%2Cc_%7B3%7D%2C...%2Cc_%7Bk%7D$ 為任意常數(shù)。

因此可以得出結(jié)論：非齊次線性差分方程通解，等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解，加上非齊次線性方程的一個(gè)特解。

定理3：非齊次線性差分方程解的疊加原理

設(shè) $y_%7B1n%7D%5E*%2Cy_%7B2n%7D%5E*$ 分別是方程

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B1n%7D$

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B2n%7D$

的特解，則 $y_%7B1n%7D%5E*%2By_%7B2n%7D%5E*$ 是方程

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7B1n%7D%2Bx_%7B2n%7D$

的特解。

二.?常系數(shù)齊次線性差分方程的解法

滿足 $x_%7Bn%7D%5Cequiv%200$ 的常系數(shù)線性差分方程稱為常系數(shù)齊次線性差分方程。

以二階常系數(shù)齊次線性差分方程 $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%3D0$ 為例，其解法如下：

首先求解特征方程 $a_%7B0%7Dr%5E2%2Ba_%7B1%7Dr%2Ba_%7B2%7D%3D0$ ，若方程有兩個(gè)相異根 $r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D$ ，則差分方程的通解是 $y_%7Bn%7D%3DC_1r_1%5En%2BC_2r_2%5En$ ；若方程有兩個(gè)相等根 $r_%7B1%7D%2Cr_%7B2%7D$ ，則差分方程的通解為 $y_%7Bn%7D%3D(C_1%2BC_2n)r%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2$ 為任意常數(shù)。

推廣到m階差分方程， $a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3D0$ ，其特征方程為 $a_%7B0%7Dr%5En%2Ba_%7B1%7Dr%5E%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dr%5E%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm-1%7Dr%2Ba_%7Bm%7D%3D0$ 。

若方程有m個(gè)不相等的根，則差分方程的通解為：

$y_%7Bn%7D%3DC_1r_1%5En%2BC_2r_2%5En%2BC_3r_3%5En%2B...%2BC_mr_m%5En$ ，其中 $C_1%2CC_2%2CC_3%2C...%2CC_m$ 為任意常數(shù).

若方程有重根，差分方程的通解結(jié)構(gòu)如下：一個(gè)單根 $r$ 對(duì)應(yīng)一項(xiàng) $Cr%5En$ ，一個(gè) $k$ 重根 $r$ 對(duì)應(yīng) $k$ 項(xiàng) $r%5En(C_1%2BC_2n%2BC_3n%5E2%2B...%2BC_kn%5E%7Bk-1%7D)$ 。

注意：與微分方程不同的是，這里不區(qū)分實(shí)根和虛根。

這是因?yàn)?，差分方程中，特征方程的單重共軛虛?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=a%5Cpm%20bi" alt="a%5Cpm%20bi">對(duì)應(yīng)的通解是 $C_1(a%2Bbi)%5En%2BC_2(a-bi)%5En$ ，而寫成三角函數(shù)形式則是 $(%5Csqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%20)%5En(C_1cos(n%5Ccdot%20arg(a%2Bbi))%2BC_2sin(n%5Ccdot%20arg(a%2Bbi)))$ 。

前者明顯比后者簡(jiǎn)潔、美觀，且更容易計(jì)算。例如： $(2%2Bi)%5En%2B(2-i)%5En$ ，其每一項(xiàng)都是整數(shù)，計(jì)算結(jié)果也是實(shí)數(shù)，且只包含整數(shù)多項(xiàng)式的四則運(yùn)算和冪運(yùn)算。當(dāng)n較小時(shí)，可以直接口算，且口算難度遠(yuǎn)低于其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)形式。

三.?常系數(shù)非齊次線性差分方程的解法

m階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式是：

$a_%7B0%7Dy_%7Bn%7D%2Ba_%7B1%7Dy_%7Bn-1%7D%2Ba_%7B2%7Dy_%7Bn-2%7D%2B...%2Ba_%7Bm%7Dy_%7Bn-m%7D%3Dx_%7Bn%7D$ ，其中 $x_%7Bn%7D$ 是不恒為0的已知數(shù)列。

根據(jù)非齊次線性差分方程通解的結(jié)構(gòu)，為求該方程的通解，只需求它的一個(gè)特解和對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解。而齊次差分方程通解的問(wèn)題前面已經(jīng)解決，因此這里只需求出非齊次差分方程的一個(gè)特解。下面將介紹如何使用待定系數(shù)法求出非齊次線性差分方程的一個(gè)特解：

$x_%7Bn%7D$ 的常見(jiàn)形式為： $a%5EnS_p(n)$

其中 $a$ 是常數(shù)， $S_p(n)$ 是 $p$ 次多項(xiàng)式。

則非齊次線性差分方程的通解為 $y_n%5E*%3Dn%5Eka%5EnQ_p(n)$ ，其中 $Q_p(n)$ 也是 $p$ 次多項(xiàng)式，而 $k$ 的值根據(jù)如下規(guī)則確定：若 $a$ 不是特征方程的根，則 $k%3D0$ ；若 $a$ 是特征方程的 $r$ 重根，則 $k%3Dr$ 。