原題如下圖，規(guī)則很奇怪，看起來很棘手，但求解卻很令人舒適

首先，我們引入一個輔助函數(shù)ψ(x)，即雙伽馬函數(shù)（Digamma function）來解題，其定義式為：

其中Γ(x)被稱作為伽馬函數(shù)（Gamma function），也就是我們常說的階乘，其定義如下：

但為了計算非正整數(shù)的階乘，我們更常用到其一般形式：

不過這里我們要用方法的與伽馬函數(shù)無關，而是雙伽馬函數(shù)的另一種形式（無窮級數(shù)和表達）：

其中γ被稱為歐拉-馬斯克若尼常數(shù)（Euler-Mascheroni?constant），其定義式為：

其值約為γ≈0.577

我們計

不難知道S是絕對收斂的，也就符合黎曼重排定理，于是我們可以對S的求和順序進行重排，得到：

而對于雙伽馬函數(shù)，我們有如下反射公式（類似于伽馬函數(shù)的余元公式）成立：

利用反射公式，我們得到：

由三角函數(shù)的誘導公式：

得到：

于是我們只需要對這個三角函數(shù)式進行計算即可得到最終的結果

我們令：

一方面，我們有：

其為一個無意義的數(shù)，另一方面，我們有：

于是我們可以得到：

于是有：

將tan6θ展開，令α=tanθ，我們得到：

整理后得到方程：

該方程的六個根便是tanθ的六個值

接下來便是整個證明中最巧妙的一部分：如何在不直接求解該方程的情況下得到原式的值

根據(jù)誘導公式，我們知道：

于是根據(jù)韋達定理，我們可以得到：

所以

而

即

以β=1/α代替(*)式中的α，得到關于β的方程（這里β可表示cotθ）

再次使用韋達定理（σ_2）得到：

我們計

不難發(fā)現(xiàn)：

由tanx和cotx在(0,π/2)的單調性我們知道x_1和x_2均大于零，而該方程組有唯一正數(shù)解組

于是：

解答完畢