非常遺憾的消息，本書的作者，新劍橋?qū)W派的重要代表人物，盧伊季·帕西內(nèi)蒂前天不幸離世了，非主流經(jīng)濟學失去了一位偉大的經(jīng)濟學家，在這里我深表哀悼。

由于第三章涉及到許多公式，word已經(jīng)譯好的文章粘貼到b站很不方便，所有的公式需要重新輸入，因此有些公式就以圖片或英文輸入的形式表示了，如有錯漏，還請大家指出。以及，正文中的紅色字體為原書標注的英文斜體。

第三章 一個線性生產(chǎn)模型

一、以代數(shù)項表達的交易記錄表

（一）回到一個簡化的經(jīng)濟系統(tǒng)。

? ? ? ?為了使我們的分析超越投入產(chǎn)出表的純粹描述性的階段，現(xiàn)在重新回到一個簡化的經(jīng)濟系統(tǒng)我。們再次采用前一章數(shù)值例中的簡單假設(shè)，即經(jīng)濟系統(tǒng)從勞動力、技術(shù)知識和消費決策方面看處于完全穩(wěn)態(tài)的假設(shè)。而且，我們將假定完全相同的商品和服務的實物流動會年復一年地發(fā)生。

（二）交易記錄表。

? ? ? ?對于分析目的而言，基于數(shù)值項的描述限制太大了，但可以用代數(shù)項進行更一般的處理。

? ? ? ?一般來說，假設(shè)投入產(chǎn)出表包含 n 行和 n 列，分別代表 n 個產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)出和投入（這里的“產(chǎn)業(yè)”一詞是廣義上的）。記?，用來表示交付給產(chǎn)業(yè)?1,2,...,j,...,n 的第 i 種商品的實物數(shù)量；然后記為第 i 種商品的價格。由于，i,j=1,2,...,j,...,n（即有 n 行和 n 列），所以交易記錄表將如表III.1中所呈現(xiàn)的那樣。

? ? ? ?可以看到，在這張表中出現(xiàn)了 n 個價格 ?，和 ?個實物量，其中。這些實物量按商品種類（按行）和產(chǎn)業(yè)類型（按列）進行分類。因此，符號表示在第 j 個產(chǎn)業(yè)中使用的第 i 種商品的實物量。換句話說，兩個下標表示相應實物量在表中的位置——第一個表示行的編號，第二個表示列的編號。

? ? ? ?出現(xiàn)在同一行中的實物量顯然是同質(zhì)的（例如，第一行可能指的是商品小麥），而出現(xiàn)在任何一列的實物量都是異質(zhì)的（例如：小麥生產(chǎn)行業(yè)中所使用的小麥、煤、鐵等）。不過，由于每個實物量都已經(jīng)乘以了相應的價格，所以出現(xiàn)在每個單元格中的數(shù)值都是以當前價值表示的。因此，可以對行和列進行求和。從該表的純會計性質(zhì)來看，每一行的總和將恒等于相應列的總和。因此，如果我們用 ?來表示商品 1, 2, ..., n 的總數(shù)量，就有：

? ? ? ?表III.1也可以用兩組會計恒等式的方程組來表示，它們分別對應于行總和與列總和。于是，我們得到：

二、一個基于代數(shù)的重新表述

? ? ? ?如上所述，兩組會計恒等式方程組（III.1.1）和（III.1.2）在數(shù)學上有些難以處理，因為它們呈現(xiàn)出明顯的非對稱性（asymmetry）。例如，（III.1.1）中的每個等式都可以通過除以價格（每一項的價格都一樣）而立即得到簡化。但在（III.1.2）中卻不能這么做。不過，我們有可能引入一些定義，通過使代數(shù)公式對稱化，以得到更有意義的分析。令：

因此有：

? ? ? ?利用這些定義可以消除（III.1.1）和（III.1.2）中的?，然后進行化簡，可以得到：

? ? ? ?可以看到，兩組方程組（III.2.1）和（III.2.2）現(xiàn)在是完全對稱的。第一組方程組列出了實物量 ?之間的關(guān)系，第二組方程組列出了價格?之間的關(guān)系。二者都包含相同的數(shù)值?，但行和列是互換的：相同的?，在（III.2.1）中出現(xiàn)在行上，而在（III.2.2）中出現(xiàn)在列上，反之亦然。

三、到目前為止所使用的方程式的會計性質(zhì)

? ? ? ?千萬不要被上面的定義所誤導。我們使用方程組來表示交易記錄表，并沒有為其增加或減少任何內(nèi)容。特別是上面的（III.2.1）和（III.2.2），不過是會計恒等式，只是交易記錄表III.1的另一種寫法。

? ? ? ?例如，如果我們想利用上一節(jié)的定義寫下第二章數(shù)值例的表格，我們將得到行等式的表達式：

? ? ? ?與（III.1.1）和（III.1.2）相比，（III.2.1）和（III.2.2）的意義在于，它們包含了一組具有重要經(jīng)濟意義的全新數(shù)值——比率?。如果在我們的數(shù)值例中，我們更仔細地考慮出現(xiàn)在（III.3.1）第一列中的比率。

? ? ? ?（或者，更一般地說，），我們會注意到，它們分別代表在所觀察的經(jīng)濟中，生產(chǎn)一個實物單位的小麥平均所需要的小麥、鐵、火雞和勞動的實物量（或者，更一般地說，代表廣義上的商品實物量，1, 2, 3, ..., n）。它們僅僅是小麥行業(yè)（即行業(yè)1）的所謂的生產(chǎn)系數(shù)。其他列中出現(xiàn)的比率也應作類似的解釋。這些平均的生產(chǎn)系數(shù)??同和形成了鮮明對比。前者屬于生產(chǎn)技術(shù)的世界，而后者則屬于經(jīng)濟決策的世界。混合出現(xiàn)在交易記錄表中的這兩種數(shù)值的分離，確實是（III.2.1）和（III.2.2）最有趣的特征。因為存在一系列的問題，使得這種區(qū)分變得很重要。

? ? ? ?實物生產(chǎn)量變化而生產(chǎn)系數(shù)保持不變的情況，顯然對應于生產(chǎn)的技術(shù)過程既不導致規(guī)模收益遞增也不導致規(guī)模收益遞減（規(guī)模收益不變）的情況。在這種情況下，將（III.2.1）和（III.2.2）解釋為線性方程組——這兩組線性方程組的系數(shù)均為?，而未知數(shù)則分別是，和，——就變得合理起來。當規(guī)模收益不完全是常數(shù)，但與常數(shù)相差不大時，相同的處理程序也是合理的。

五、兩組方程組

? ? ? ?在第四節(jié)末尾，我們提到了方程組，而不再像以前那樣講恒等式方程組，因為我們涉及到一個具體的假設(shè)：規(guī)模收益不變。

? ? ? ?實際上，只要我們在（III.2.1）和（III.2.2）中引入一個關(guān)于??系數(shù)的假設(shè)——就像在本例中提到的規(guī)模收益不變的假設(shè)——這些方程式就不再是恒等的。只有當假設(shè)成立時，它們才是真的。因此，它們變成了表達“理論”的方程。例如，在經(jīng)過經(jīng)驗檢驗后它們可能會被拒絕。

? ? ? ?當然，人們可以采用規(guī)模收益不變以外的其他假設(shè)。因此，今后有必要仔細說明對技術(shù)系數(shù)??所作的假設(shè)。在某些情況下，明確說明沒有必要作出的假設(shè)也很重要。（我們將在第五章第12節(jié)中考慮這方面的一個特殊例子。）然而，這些陳述不應被視為意味著生產(chǎn)系數(shù)必須保持不變，實物量和價格必須變化。（在實踐中，很可能是技術(shù)系數(shù)發(fā)生變化，而產(chǎn)出保持不變?；蛘撸治瞿切┎灰欢ㄉ婕??或??變化的問題可能是有意義的。）因此，我們對比率??同數(shù)量??和價格??的對比，不是基于常量和變量之間的區(qū)別，而是基于被視為給定的數(shù)值和被視為未知的數(shù)值之間的區(qū)別。對經(jīng)濟學家來說，技術(shù)系數(shù)是由生產(chǎn)技術(shù)給定的數(shù)值，而數(shù)值和則是經(jīng)濟分析的主題。更一般地說，我們將把（III.2.1）和（III.2.2）視為兩組方程組，使我們能夠在一定的有關(guān)技術(shù)系數(shù)?的假設(shè)下,對?和?的解的性質(zhì)進行分析。

六、關(guān)于矩陣代數(shù)的使用

? ? ? ?此時，研究（III.2.1）和（III.2.2）作為兩組線性方程組的數(shù)學性質(zhì)就變得很重要。

? ? ? ?在初等代數(shù)中，兩個或三個線性方程所組成的方程組的解和性質(zhì)是眾所周知的。然而，在目前的情況下，方程的數(shù)量實際上可能會變得非常多。為了方便和加快我們的分析，我們將廣泛使用矩陣代數(shù)。

? ? ? ?為了方便讀者，下文中使用的矩陣代數(shù)的基本概念將在書末的數(shù)學附錄中加以回顧。因此，建議不熟悉矩陣代數(shù)的讀者在繼續(xù)學習之前可以先去翻閱一下數(shù)學附錄。