前置知識：泛函的基本概念、變分法

摘要：本文簡單介紹了一些Hamilton體系求解力學(xué)問題的優(yōu)勢?？偨Y(jié)了一種從包含高階導(dǎo)數(shù)的Lagrange量出發(fā)，導(dǎo)出Hamilton方程的方法。使得將Hamilton體系的解析方法和數(shù)值方法應(yīng)用在這類系統(tǒng)上成為可能。

關(guān)鍵詞：Hamilton體系、高階Lagrange系統(tǒng)、Legrendre變換、降階、Hamilton方程

一、Lagrange、Hamilton體系分析力學(xué)問題的優(yōu)勢的簡介

??? 我們知道，力學(xué)發(fā)展至今共有三套體系：一是Newton發(fā)明的矢量力學(xué)體系；二是Lagrange發(fā)明的Lagrange體系；三是Hamilton發(fā)明的Hamilton體系。這三個體系看起來很不同，但在數(shù)學(xué)上是等價的。就是說，以其中一個體系為前提出發(fā)，能夠推出另外兩個體系；且對于同一個物理模型，三個體系給出的描述問題的方程是等價的，結(jié)果也應(yīng)該是等價的。然而，方程和結(jié)果等價并不意味著建立方程和求解方程這兩個過程也是等價的。

??? 如果讀者學(xué)過一點Lagrange體系相關(guān)的知識，應(yīng)該能意識到Lagrange體系在建立方程時往往比Newton體系更具優(yōu)勢，可能表現(xiàn)在待求解的未知函數(shù)更少，或者獲得的方程具有更好的形式（例：振動力學(xué)中，通過Lagrange體系獲得的方程中，質(zhì)量系數(shù)陣M、阻尼系數(shù)陣C、剛度系數(shù)陣K都是對稱的，而通過Newton體系獲得的方程則不具備這種優(yōu)勢），并且這種方式將Newton體系中大量的受力分析轉(zhuǎn)化成了機械性的計算，對于追求問題分析的一般性來說是更優(yōu)的。而且，Lagrange力學(xué)體系提供了一種全新的數(shù)值方法——即變分的直接方法，這種方法能夠在更廣泛的意義給出方程的近似解。

??? 在現(xiàn)今的力學(xué)學(xué)科中，Hamilton體系在分析和建立方程上一般沒有特別明顯的優(yōu)勢，并且由于有限元法等“力學(xué)問題數(shù)值求解通法”的發(fā)展，人們似乎不那么關(guān)心Hamilton體系在力學(xué)中特別是工程問題中的應(yīng)用了，這可能也是Hamilton體系沒有得到廣泛推廣的原因之一。不過，Hamilton體系求解力學(xué)問題的發(fā)展已有40年左右。上世紀(jì)80年代，馮康院士提出了Hamilton算法，這是一種求解方程的數(shù)值方法，該方法需要先將問題用Hamilton方程描述出來，隨后構(gòu)造保辛（簡單來說可以理解成具有某種意義下的守恒性）的差分格式。這種格式具有長期跟蹤穩(wěn)定，即不存在數(shù)值耗散（人工阻尼）的優(yōu)勢，這也是Hamilton體系與實際工程問題能夠緊密結(jié)合的地方。90年代，鐘萬勰院士提出和發(fā)展了通過Hamilton體系解析求解彈性力學(xué)問題的方法，該方法的最大優(yōu)勢在于能夠逐次找到所有特征解，而以往的半解析解可能存在遺漏或考慮不周的情況。另外，對于長厚比大的結(jié)構(gòu)，該方法能夠考慮隨Saint-Venant效應(yīng)快速衰減的邊界效應(yīng)。

??? 盡管Hamilton體系求解存在這些優(yōu)勢，但可能是由于有限元方法在力學(xué)中的普及，Hamilton體系求解的方法，特別是在彈性力學(xué)中解析求解的方法沒有得到多少重視。

二、從含一階導(dǎo)數(shù)項的Lagrange量推導(dǎo)Hamilton方程

??? 首先回顧一下如何從含一階導(dǎo)數(shù)項的Lagrange量推導(dǎo)Hamilton方程。

??? 設(shè)作用量

其中。若將作用量S視為關(guān)于的自變函數(shù)，則通過最小作用量原理，令其變分等于0

除去邊界條件部分，再根據(jù)變分法基本定理就可得到描述問題的微分方程，即Euler-Lagrange方程

??? 而如果先做Legendre變換

并將Lagrange量改寫成Hamilton量

這時將作用量S視為關(guān)于以u,p為自變函數(shù)的泛函

對其取變分

于是就得到了Hamilton方程

三、從含二階導(dǎo)數(shù)項的Lagrange量推導(dǎo)Hamilton方程

??? 下面推導(dǎo)如何從含二階導(dǎo)數(shù)項的Lagrange量推導(dǎo)Hamilton方程。

??? 設(shè)作用量

其中，這時無法直接執(zhí)行Legendre變換。

??? 引入新的變量，并將該式以約束形式引入Lagrange量中，得到：

將L改寫成Hamilton量的形式

取變分得

于是就得到了Hamilton方程

如果引入

那么上述方程與一階情形就達成了形式上的統(tǒng)一。

??? 理論上來說，這種方法應(yīng)該可以推廣至含更高階導(dǎo)數(shù)項的Lagrange量的情形。

??? 另外需要注意的是，這種方法引入的Lagrange乘子在純數(shù)學(xué)形式上應(yīng)該沒有什么特殊的限制，但是在具體的物理學(xué)或力學(xué)問題中，至少需要保證與的量綱一致。關(guān)于Lagrange乘子究竟是否需要有選取上的限制，筆者尚不十分清楚，希望能與有想法的讀者共同探討。