【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學基礎自學內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數(shù)理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學叢書6677版』上傳成文字版。

第九章物體的平衡

【山話||? 本篇專欄中的力單位達因等于10??牛頓；而老教材中的重量單位公斤，如今是用力單位牛頓表示，而如今力是不允許使用公斤為單位的】?

§9-2有固定轉軸的物體的平衡條件，力矩

【01】門、窗、磨子、絞盤等等都是有固定轉軸的物體。怎樣才能使它們轉動起來呢？我們可以拿圖9·11所示的絞盤（船上起錨用的絞盤）為例來進行討論。圖上O-O'表示絞盤的固定轉軸。只要一看圖，誰都會說出：象圖中所表示的兩種情況，不論用多大的力，絞盤是不會被轉動的。

【02】只有象圖9·12(a)所表示的那樣，才是最合適的推法。可是，我們能從這樣的經(jīng)驗中總結出什么規(guī)律來呢？那就需要對這三種情況進行分析，找出力和轉軸之間的關系。

【03】象圖9·11(a)所表示的那樣，水手用的力 F 是和轉軸 O-O' 平行的；象圖9·11(b)所表示的那樣，水手用的力F是和轉軸O-O'相交的；在這兩種情況下，力F和轉軸O-O'總是在同一平面上（平行或相交的兩直線決定一個平面），它們都不能推動絞盤。經(jīng)驗還證明，任何與轉軸同一平面的力都不能推動它。

【04】象圖9·12(a)所表示的那樣，水手用的力F和轉軸 O-O' 既不平行、又不相交，它們不在同一平面內(nèi)，同時，F(xiàn)沿水平方向，而軸 O-O' 沿豎直方向，兩者垂直，如圖9`12(b)所示。我們稱這種關系為異面垂直。如果水手的雙手用的力不是水平向前，而是向前偏向上方或向前偏向下方，如圖(9·13)所示，則在這兩種情況下，力和轉軸僅是異面（不在一平面），但不垂直。經(jīng)驗證明，凡是和轉軸異面的外力都能使絞盤轉動；但是，垂直時效果好，不垂直時效果差。所謂效果好就是可以省力一些。

【05】為什么在推動一個有固定轉軸的物體時，異面垂直的力比不垂直的效果好呢？我們可以用圖9·14來說明。O-O' 是轉動物體的固定軸，F(xiàn) 是作用在物體上的外力，它和轉軸異面而不垂直。把外力 F 分成兩個分力，一個分力是 F'，它和轉軸異面垂直，另一個分力是 F”，它和轉軸平行。前面已經(jīng)講過，和轉軸平行的力是不能推動物體的，能推動物體的只是分力 F' 。這就是說，當外力與轉軸異面而不垂直時，只有異面垂直的分力才是有效的，這個分力 F” 總比 F' 小，所以它的效果差。

【06】通過以上的分析，我們可以得出一個結論：在推動有固定轉軸的物體時，凡是與轉軸在同一平面上的外力都不能使它轉動起來，只有與轉軸異面垂直的外力（或外力與轉軸異面垂直的分力）才能使它轉動起來。

【07】讓我們再回過來想一想，我們平常推門、推窗、推磨以及推動一切有固定轉軸的物體，是怎樣用力的呢？不是盡可能使力與轉軸異面垂直嗎？這些活生生的事實也就說明了上述結論的正確性。

【08】經(jīng)驗還指出，同樣是與轉軸異面垂直的力，對于推動一個轉動物體來講，效果也不是一樣的。例如，我們在距離轉軸不遠的地方推門或推窗，就要用較大的力，力過小就推不動；相反，在距離轉軸較遠的地方推，只要用很小的力就可以推動。這說明：要使一個有固定轉軸的物體轉動，不僅要有與轉軸異面垂直的力，還與力跟轉軸之間的距離有關。因此我們規(guī)定：

【09】在力 F 和轉軸異面垂直的情況下，力和轉軸之間的垂直距離（公垂線的長度）叫做力臂，用?L 表示，力 F 和力臂 L 的乘積叫做力矩，用 M 表示，即 M = F × L? 。

【10】我們用下面幾個簡單的事例來具體說明力臂和力矩的意義。

【11】如圖9·15所示，各圖中的OA都代表一根細桿，A是力的作用點，O代表一只垂直于紙面的小鐵釘，作為細桿繞它轉動的固定轉軸。

【12】在圖9·15(a)中，力F的作用線的延長線通過O點（即與轉軸相交），因此，力臂等于零，力矩也等于零。這樣的力一定與轉軸在同一平面上，不能使桿繞O軸轉動。

【13】在圖9·15(b)中，力的作用線與轉軸異面垂直，同時也垂直于桿，其力臂 L =，力矩 M = F ×。由于這個力矩的作用，使細桿繞O軸轉動。

【14】在圖9·15(c)中，力的作用線與轉軸異面垂直，但與細桿成 θ 角（θ≠90°）。在這種情況下，我們可以用兩種不同的方法來計算力矩。第一種方法是直接根據(jù)力矩的定義來計算，先把力 F 的作用線適當延長，然后畫出它與轉軸之間的公垂線 OB，它就是力臂 L 從圖中可以看出L =sin?θ??。所以力矩 M = F×L = F×sin?θ? 。

【15】第二種方法是把力 F 分成為兩個分力，一個平行于細桿的 F? 和一個垂直于細桿的F? 。根據(jù)前面的討論，已知 F? 的力矩等于零，F(xiàn)? 的力矩 M' = F?×?= Fsinθ×= M? 。由此可見，分力 F? 的力矩等于合力 F 的力矩。

【16】由于力矩是由力和轉軸兩方面的條件來決定的，力矩的完整敘述應當是：某一個力對某一個軸的力矩。拿上面這個例子來講，應當是：力 F 對軸 O 的力矩等于F×sinθ? 。也就是說，講力矩時必須講明什么力對什么轉軸。

【17】力矩的單位是由力的單位和力臂的單位決定的。如果力的單位是1克，力臂的單位是1厘米，那么，力矩的單位就是1厘米·克。如果力的單位是1公斤，力臂的單位是1米，那么，力矩的單位就是1米·公斤【山注||? 此處已強調(diào)是如果，如今是決不允許力使用公斤為單位】。此外，力矩的單位還有1厘米·達因，1米牛頓等。

【18】各個力矩的不同，不僅在于它們的大小，還在于它們使物體轉動的方向。一般規(guī)定：使物體向順時針方向轉動的力矩為正力矩，使物體向反時針方向轉動的力矩為負力矩。例如，在圖9·15(b)和(c)中，F(xiàn) 的力矩都使桿繞 O 軸作順時針方向轉動，所以都是正力矩。

【19】現(xiàn)在我們來討論有固定轉軸的物體的平衡條件。我們來做一個簡單的實驗。圖9·16表示一根均勻的直桿或米尺，它的中間由一個無摩擦的刀口支住，代表固定轉軸。桿上每一格代表一定的距離，例如10厘米。在刀口左邊40厘米處懸掛400克的砝碼，右邊20厘米處懸掛200克的砝碼，40厘米處懸掛300克的砝碼，這樣，當我們看到桿仍保持水平時，就說明它在這三個力的作用下處于平衡狀態(tài)。

【20】這里，刀口就是固定轉軸，桿就是有固定轉軸的物體，它受到三個力的作用。400克力的力臂是40厘米，它的力矩 M? 為 M? =－400 x 40 =－16,000厘米·克，負號表示它使桿向反時針方向轉動。

【21】200克力的力臂是20厘米，它使桿向順時針方向轉動，它的力矩 M? 為?M??=200 × 20=4000厘米·克。

【22】300克力的力臂是40厘米，它也使桿向順時針方向轉動，它的力矩 M? 為?M? = 300 × 40 = 12,000厘米·克。

【23】桿受到的總力矩 M 為 M =M?+M?+M? =－16,000+4000+12,000 = 0? 。

【24】讀者可以變更各個力的力臂再做幾次實驗。結果都會告訴我們：只有在總力矩等于零的條件下，物體才不繞它的轉軸轉動。因此，我們可以說：

【25】有固定轉軸的物體的平衡條件是作用在物體上的總力矩等于零。

例3.圖9·17是一塊圓板。圓板上第一個圓圈的半徑是5厘米，每相鄰兩圓圈的半徑相差5厘米。固定轉軸是通過圓板中心?O 而垂直于圓板的直線。各圓圈上都釘上一些小釘，用繩子把砝碼懸掛在小釘上，右邊的 F? 和 F? 是各經(jīng)過一個滑輪的，左邊的 F? 不經(jīng)過滑輪。每個砝碼的重量都是1公斤，求各力的力矩。又圓板在這三個力矩的作用下是否平衡？

【解】

????????F? 是1公斤，力臂是20厘米 = 0.2米；

????????F? 是4公斤，力臂是10厘米 = 0.1米；

????????F? 是2公斤，力臂是30厘米 = 0.3米。

????????F? 的力矩 M? 為 M??= 1×0.2 = 0.2米·公斤；

????????F? 的力矩 M? 為 M? = 4×0.1 = 0.4米公斤；

????????F? 的力矩 M? 為?M? =－2x0.3 =－0.6米·公斤。

????????∴ 總力矩 M = M?+M?+M? = 0.2+0.4－0.6 =0? 。即圓板處于平衡狀態(tài)。

習題9-2

1、火車車輪的邊緣和制動片之間的摩擦力是50公斤，如果車輪的半徑是0.45米，求摩擦力的力矩?！?2.5米·公斤】【山注||? 此處的公斤用法如今已經(jīng)禁用，力不能使用公斤為單位】

2、作用力在車床軸輪上的力矩等于6.25米·公斤，軸輪的直徑是25厘米，求作用力的大小?！?0公斤】【山注||? 此處的公斤用法如今已經(jīng)禁用，力不能使用公斤為單位】

3、有一個物體繞一水平的軸轉動，今在軸的左方相距12厘米處，加上一個豎直向下的力3公斤，問應在何處加上4.5公斤的豎直向下的力，才能使物體不轉動？【右方8厘米處】【山注||? 此處的公斤用法如今已經(jīng)禁用，力不能使用公斤為單位】

4、有一個物體，使它向順時針方向轉動的力是5公斤和3公斤，力臂分別為50厘米和25厘米。使它向反時針方向轉動的力是2公斤和6公斤，力臂分別為75厘米和20厘米。問這個物體將向哪一個方向轉動？還要增加多大的力矩才能使它平衡？這個力矩是正的還是負的？【0.55米·公斤，負的】【山注||? 此處的公斤用法如今已經(jīng)禁用，力不能使用公斤為單位】