第一節(jié) 換元法

例1.計(jì)算

有人可能會(huì)說(shuō)：直接微積分第二定理就搞定了！

不，這積分不太簡(jiǎn)單，因?yàn)槲覀冋也坏剿姆磳?dǎo)數(shù)

為了簡(jiǎn)便的計(jì)算這個(gè)定積分，我們可以先算這個(gè)不定積分

然后令t=x^3，則不定積分變成

然后就可以計(jì)算了？不！你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，這里有兩個(gè)自變量？（t和x）

為了統(tǒng)一，我們必須換掉一個(gè)量，很明顯我們要換掉x^2 dx，換成以a dt的形式(a為常數(shù))

好在我們令t=x^3了，那么就有dt/dx=3x^2

這樣，就有

即

現(xiàn)在即可計(jì)算這個(gè)不定積分了

我們現(xiàn)在找到了反導(dǎo)數(shù)（即sinx^3/3），所以我們把結(jié)果代到定積分，然后使用微積分第二定理，得到

例2.計(jì)算

看起來(lái)好像無(wú)從下手啊，但實(shí)際上我們有

令t=sin^-1 x，則

也就是

按照上一個(gè)例子，我們先計(jì)算不定積分以找到反導(dǎo)數(shù)

我們找到了反導(dǎo)數(shù)

然后把視線(xiàn)轉(zhuǎn)到定積分，注意一點(diǎn)，在這里我們的做法與上一個(gè)例子不太相同

我們把積分上限和下限用t來(lái)表示，也就是把x=1/√2和x=√3/2分別代入t=sin^-1 x，就得到

t=π/3和t=π/3

也就是

求得

第二節(jié) 分部積分法

在學(xué)習(xí)這節(jié)之前，我們需要掌握一個(gè)公式：

（這個(gè)公式是利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則的微分形式，然后在等號(hào)兩邊分別積分就得到的）

例1.假設(shè)要計(jì)算

令u=x并且dv=e^x dx，這時(shí)就有

現(xiàn)在我們還需要找到du和v，這樣就可使用分部積分

du比較簡(jiǎn)單，du=dx（因?yàn)閡=x，所以du/dx=1）

那v呢？我們只知道dv=e^x dx，即dv/dx=e^x，很明顯那么v=e^x

現(xiàn)在就可以使用分部積分法了：

也就是

這就是答案了

例2.求

首先我們令u=x^2,dv=sinx dx

那么就有v=-cosx,du=2x

然后使用分部積分法：

即

然后我們發(fā)現(xiàn)，等號(hào)右邊的第二項(xiàng)貌似還要使用一次分部積分法

沒(méi)錯(cuò)，的確是的

先把等號(hào)右邊的第二項(xiàng)的2提出來(lái)，然后使用分部積分

那么令U=x,dv=cosx dx

則V=-sinx, dU=dx

這樣替代，就有：

即

然后代入回去，即得到