等差數(shù)列是最重要最基本的一個數(shù)列,在日常生活中有著廣泛的用途.

???一般地,如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,其中的常數(shù)叫等差數(shù)列的公差,記作d,這來源于"公差"的英文名稱"common difference"中的"difference"的首字母.

???此定義中有三處關(guān)鍵點(diǎn):①從第二項起;②每一項與它的前一項的差;③同一個常數(shù).

???若把文字?jǐn)⑹龅亩x翻譯成數(shù)學(xué)符號,則可以表示為:

???對數(shù)列{a(n)},若a(n+1)-a(n)=d,其中d為常數(shù),則{a(n)}為等差數(shù)列.

???這個定義可以作為判定等差數(shù)列的第一個定理.

???如果等差數(shù)列{a(n)}的首項是a(1),公差為d,那么根據(jù)等差數(shù)列的定義可得:

???a(2)-a(1)=d,

???a(3)-a(2)=d,

???a(4)-a(3)=d,…

所以 a(2)=a(1)+d,

????a(3)=a(2)+d=(a(1)+d)+d=a(1)+2d,

????a(4)=a(3)+d=(a(1)+2d)+d=a(1)+3d,

????……

由此得到

???a(n)=a(1)+(n-1)d.

當(dāng)n=1時,上面等式兩邊均為a(1),即等式也是成立的,這表明當(dāng)n∈N*時上面公式成立,因而它就是等差數(shù)列{a(n)}的通項公式.上述推導(dǎo)公式的方法是不完全歸納法,這種方法從邏輯上來講是不夠可靠的,需要運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明,將來在高三數(shù)學(xué)課程中我們會進(jìn)一步深入學(xué)習(xí).

???對等式a(n+1)-a(n)=d中的n依次取1,2,3,…,n-1.則有??a(2)-a(1)=d,

????a(3)-a(2)=d,

????a(4)-a(3)=d,

????…,

???a(n)-a(n-1)=d,將這n-1個等式相加即得

??a(n)=a(1)+(n-1)d.

這種推導(dǎo)方法稱為疊加法,是尋找數(shù)列通項公式的重要方法之一.

我們還可以這樣來推導(dǎo):

???a(n)=a(n-1)+d=a(n-2)+d+d=…=a(1)+d+…+d,這里一共代換了n-1次,每次多出一個d,因此有

???a(n)=a(1)+(n-1)d.

這種推導(dǎo)方法稱為迭代法,在解題當(dāng)中也有重要的作用,是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一種重要方法.

也可以這樣來推導(dǎo):

a(n)=(a(n)-a(n-1))+a(n-1)

????=(a(n)-a(n-1))+(a(n-1)-a(n_2))+a(n-2)

?=(a(n)-a(n-1))+(a(n-1)-a(n-2))+…+(a(2)-a(1))+a(1),前面的每一個括號都等于d,共有n-1個括號,于是有a(n)=a(1)+(n-1)d.這種方法稱為累差法,其實體現(xiàn)了一種構(gòu)造的思想,是靈活性很強(qiáng)的一種方法.

???說了這么多的推導(dǎo)方法,其實不單單是為了一個通項公式,更重要的是想教會大家方法,每一個問題都可以從不同的角度去思考,用不同的思路去解決,這樣就體現(xiàn)了思維的靈活性,深刻性,廣闊性,也體現(xiàn)了知識與方法之間廣泛的聯(lián)系.

??由此可見,a(n)=a(1)+(n-1)d,

??????????a(m)=a(1)+(m-1)+d.

兩式相減即得a(n)-a(m)=(n-1)d-(m-1)d,

????????即a(n)-a(m)=(n-m)d??(*),

???????也即a(n)=a(m)+(n-m)d,可見要求a(n),并不一定要知道a(1),可以用任意一項a(m)來求解,關(guān)鍵是要弄清楚所求與已知之間的差異.這里的公式(*)可以看作是通項公式的推廣形式.如果靈活運(yùn)用,在解題中可以大大減少運(yùn)算量,提高效率.

??另外,公式(*)還可變形為

???d=(a(n)-a(m))/(n-m),

此式的右邊可以看作兩點(diǎn)(n,a(n)),(m,a(m))的斜率公式,這樣d就有了明顯的幾何意義;

其實,通項公式a(n)=a(1)+(n-1)d經(jīng)過變形可寫成

a(n)=dn+(a(1)-d),它與直線方程y=kx+b的形式類似,公差d與斜率k也就有了類似的作用,即:

??d>0時,等差數(shù)列{a(n)}遞增;

??d<0時,等差數(shù)列{a(n)}遞減;

??d=0時,等差數(shù)列{a(n)}為常數(shù)列.

?(2006-12-13 10:12:23)