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A-0-3積分與應(yīng)用（1/2）

2023-08-26 19:13 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過(guò) | 我要投稿

0.3.1 微分

上一講中我們介紹了導(dǎo)數(shù)的一種表示方法 $%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%E2%80%8B$ ，其中 $dy$ 和 $dx$ 叫做微分，微分是這么定義的：

當(dāng)自變量變化 $%5CDelta%20x$ 的時(shí)候，函數(shù)值變化量

$%5CDelta%20y%3DA%5CDelta%20x%2Bo(%5CDelta%20x)$

$o(%5CDelta%20x)$ 表示 $%5CDelta%20x$ 的高階無(wú)窮小，其中的線性部分 $A%5CDelta%20x$ 稱為函數(shù)的微分，表示為 $dy$ ，而 $dx$ 可以看成函數(shù) $y%3Dx$ 的微分，則 $dy%3DAdx$ .兩微分的比值 $%5Cdfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3DA$ 稱為微商，

由此可得，導(dǎo)數(shù)和微商之間的關(guān)系：

$f'(x)%3D%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta%20x%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7B%5CDelta%20y%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3DA%2B%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta%20x%5Crightarrow0%7D%5Cdfrac%7Bo(%5CDelta%20x)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3DA$

即，導(dǎo)數(shù)是微商在 $%5CDelta%20x%5Crightarrow0$ 時(shí)的極限。在計(jì)算時(shí)，我們可以認(rèn)為二者相等。

0.3.2 積分的定義與表示

在物理競(jìng)賽中，積分主要用來(lái)解微分方程。

積分最先提出，是用于求解曲線下方所圍面積，以及曲面下方所圍體積。

如上圖為 $f(x)$ 的部分函數(shù)圖像，要求曲線 $AB$ 下方的面積，我們可以將其分割為若干個(gè)小矩形，然后將所有小矩形面積求和。我們將 $%5Ba%2Cb%5D$ 區(qū)間 $n$ 等分，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度

$%5CDelta%20x%3D%5Cdfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D$

當(dāng) $%5CDelta%20x%5Crightarrow%200$ 時(shí)， $%5CDelta%20x%5Crightarrow0$ ，假設(shè)圖中 $x$ 位置對(duì)應(yīng)矩形為第 $i$ 個(gè)矩形，則有 $x_i%3Di%5CDelta%20x$ ，該矩形的長(zhǎng)度為 $f(x)$ ，則該矩形面積

$%5CDelta%20S%3Df(x_i)%5CDelta%20x$

故所有矩形面積之和為

$%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enf(x_i)%5CDelta%20x$

當(dāng) $%5CDelta%20x%5Crightarrow%200$ 時(shí)，上述求和趨近于某個(gè)常數(shù)(曲線下方面積 $S$ )，這個(gè)常數(shù)可以表示為 $%5Cint_a%5Ebf(x)dx$ ，稱為 $f(x)$ 在 $%5Ba%2Cb%5D$ 上的定積分。其中 $a$ , $b$ 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 $%5Ba%2Cb%5D$ 叫做積分區(qū)間， $f(x)$ 叫做被積函數(shù)， $x$ 叫做積分變量， $f(x)dx$ 叫做被積式。

引入以上定義后，有

$S%3D%5Cint_a%5Ebf(x)dx$

0.3.3 定積分的計(jì)算

我們先看另一個(gè)函數(shù) $F(x)$ ，如圖， $A$ 、 $B$ 兩點(diǎn)函數(shù)值的差為 $F(b)-F(a)$ ，

二者的差還可以換一種方法表示：

我們依然將 $%5Ba%2Cb%5D$ 區(qū)間 $n$ 等分，則第 $i$ 份區(qū)間對(duì)應(yīng) $C$ 、 $D$ 兩點(diǎn)，其水平距離

$%5CDelta%20x%3D%5Cdfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D$

$C$ 、 $D$ 兩點(diǎn)函數(shù)差值為 $%5CDelta%20y_i$

由導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)在 $C$ 點(diǎn)滿足

$%5CDelta%20y_i%3D%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta%20x%5Crightarrow0%7DF'(x_i)%5CDelta%20x$

而 $A$ 、 $B$ 兩點(diǎn)函數(shù)值的差可以看成所有 $%5CDelta%20y_i$ 之和，

$F(b)-F(a)%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%5CDelta%20y_i%3D%5Clim%5Climits_%7B%5CDelta%20x%5Crightarrow0%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5EnF'(x_i)%5CDelta%20x%3D%5Cint_a%5EbF'(x)dx$

我們令 $F'(x)%3Df(x)$ ，即 $F(x)$ 為 $f(x)$ 的原函數(shù)，則有

$%5Cint_a%5Ebf(x)dx%3DF(b)-F(a)$

此即求定積分的"牛頓-萊布尼茲“公式。為了表示方便，我們定義

$F(x)%7C_a%5Eb%3DF(b)-F(a)$

由公式可知，導(dǎo)函數(shù)的定積分，等于原函數(shù)對(duì)應(yīng)邊界值的差。

0.3.4 常見積分公式

要求定積分，我們需要找到對(duì)應(yīng)函數(shù)的原函數(shù)，這個(gè)步驟叫做求不定積分：

$%5Cint%20f'(x)dx%3Df(x)%2BC$

上式等號(hào)右邊多了一個(gè)常數(shù) $C$ 的原因是，任意常數(shù)的導(dǎo)數(shù)都為零。這樣的話，一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)就有無(wú)限個(gè)，但是相互之間只差一個(gè)常數(shù)。

由常見導(dǎo)數(shù)容易推得常見積分公式：

$%5Cint%20x%5Eadx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba%2B1%7Dx%5E%7Ba%2B1%7D%2BC$

$%5Cint%20a%5Exdx%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Cln%20a%7Da%5Ex%2BC$

$%5Cint%20%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx%3D%5Cln%7Cx%7C%2BC$

$%5Cint%5Csin%20xdx%3D-%5Ccos%20x%2BC$

$%5Cint%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7Ddx%3D%5Carctan%20x%2BC$

$%5Cdfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-x%5E2%7D%7Ddx%3D%5Carcsin%20x%2BC$