【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』，此版叢書(shū)是“數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書(shū)共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書(shū)是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來(lái)自學(xué)。不過(guò)這套叢書(shū)卻很適合像我這樣已接受過(guò)基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫(xiě)的注解。

【山話嵓語(yǔ)】『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)』其實(shí)還有新版，即80年代的改開(kāi)版，改開(kāi)版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過(guò)我依然選擇6677版，首先是因?yàn)?677版保留了很多古早知識(shí)，讓我終于搞明白了和老工程師交流時(shí)遇到的奇特專業(yè)術(shù)語(yǔ)和計(jì)算模式的來(lái)由。另外就是6677版的版權(quán)風(fēng)險(xiǎn)極小，即使出版社再版也只會(huì)再版80年代改開(kāi)版。我認(rèn)為6677版不失為一套不錯(cuò)的自學(xué)教材，不該被埋沒(méi)在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時(shí)間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書(shū)6677版』上傳成文字版。??

第十三章萬(wàn)有引力定律

【山話||? 本系列專欄中的力單位達(dá)因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的】

§13-2萬(wàn)有引力定律

【01】開(kāi)普勒定律只指出了各種行星是怎樣運(yùn)動(dòng)的，但沒(méi)有說(shuō)明為什么它們這樣運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)，它們?cè)谠鯓拥牧Φ淖饔孟虏胚@樣運(yùn)動(dòng)。這個(gè)問(wèn)題直到十七世紀(jì)末牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律后，才得到解決。

【02】牛頓在前人研究的基礎(chǔ)上，又作了長(zhǎng)期和細(xì)致的研究。他認(rèn)為行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心力，就是太陽(yáng)對(duì)行星的引力；月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)的向心力，就是地球?qū)υ虑虻囊?。他還認(rèn)為，這種天體之間的引力和地面上物體所受到的重力有相同的本質(zhì)，最后他得出這樣的一個(gè)結(jié)論：任何兩個(gè)物質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)都是相互吸引的，引力的大小與兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比，并與它們間距離的平方成反比。這就是大家所熟知的著名的萬(wàn)有引力定律。

【03】如果用 m? 和 m? 表示兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r 表示它們之間的距離，F(xiàn) 表示它們相互作用的引力，那么，這個(gè)定律可以用下面的公式來(lái)表示：，式中子是比例常數(shù)，叫做引力恒量。

【04】對(duì)于兩個(gè)物體來(lái)講，如果它們之間的距離非常遠(yuǎn)，或者它們之間的距離比它們本身大得多，就可以把它們看作是質(zhì)點(diǎn)，而直接運(yùn)用上面的公式，例如，各行星和太陽(yáng)之間的引力，地球和月球之間的引力等。如果兩個(gè)物體之間的距離不太大，計(jì)算就比較復(fù)雜，并且還需要應(yīng)用高等數(shù)學(xué)，我們?cè)谶@里不準(zhǔn)備敘述。但是也有一些特殊的情況，例如對(duì)于兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體來(lái)講，可以把它們的質(zhì)量看作是集中在重心這一點(diǎn)上，并且把兩個(gè)球體都按照質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理，直接應(yīng)用上面的公式，這時(shí) r 表示兩個(gè)球心之間的距離。

【05】萬(wàn)有引力定律可以用實(shí)驗(yàn)來(lái)證明。其中最有名的叫做卡文迪許實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)的裝置如圖13·1所示。在石英細(xì)絲 D 上懸掛著一根非常輕的細(xì)棒。懸掛點(diǎn)在棒的中央。棒的兩頭分別固定著質(zhì)量相等的小鉛球 m? 和 m?? 。再把兩個(gè)質(zhì)量相等的大鉛球 M? 和 M? 分別放在 m? 的前方和 m? 的后方，并且使 M? 和 m? 的距離與 M? 和 m? 的距離相等。這時(shí)由于大球?qū)π∏虻囊κ辜?xì)棒轉(zhuǎn)動(dòng)，于是石英絲 D 也就跟著扭轉(zhuǎn)。石英絲最后靜止的位置，就是它由于扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的彈力矩與大小鉛球的引力矩相平衡的位置。所以求出石英絲扭轉(zhuǎn)的彈力矩和兩個(gè)小鉛球之間的距離，就可以知道大小鉛球之間的引力。

【06】石英絲扭轉(zhuǎn)的彈力矩可以根據(jù)它扭轉(zhuǎn)的角度來(lái)確定，而這個(gè)扭轉(zhuǎn)的角度又可以從固定在它上面的小鏡子把原來(lái)垂直入射到它上面的光線反射回來(lái)的角度來(lái)推算。知道了扭轉(zhuǎn)的彈力矩后，便可計(jì)算出大球和小球之間的引力來(lái)。這樣，再改變所用鉛球的質(zhì)量和大小鉛球之間的距離，就可以證明萬(wàn)有引力定律。

【07】利用這個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還可以計(jì)算出引力恒量 f 的數(shù)值。

【08】從實(shí)驗(yàn)結(jié)果知道，兩個(gè)質(zhì)量都是1克的質(zhì)點(diǎn)，在相距1厘米時(shí)它們相互作用的引力是1/15,000,000達(dá)因。所以，在萬(wàn)有引力定律的公式中，如果質(zhì)量用1克作為單位，距離用1厘米作為單位，力用1達(dá)因作為單位，則 f 的數(shù)值等于1/15,000,000? ?，F(xiàn)代公認(rèn)為最準(zhǔn)確的?f?的值是 f＝6.67 ×10?? 厘米3/克?秒2（達(dá)因·厘米2/克2）。

例1.試用萬(wàn)有引力定律求地球的質(zhì)量及其密度。

【解】

(1)我們知道，質(zhì)量為1克的物體在地面附近受到的地球的引力大約是980達(dá)因，它與地球中心的距離可以近似地取作6400公里＝64×10?厘米。設(shè)地球的質(zhì)量為 M，則應(yīng)用萬(wàn)有引力定律公式得，M＝980×15×10?×(64×10?)2≈6×102?克。

(2)把地球當(dāng)作一個(gè)球體來(lái)處理，則它的體積V為。

????????所以，設(shè)地球的平均密度為ρ，則

????????即地球的平均密度是5.5克/厘米3。因?yàn)橐阎厍虮砻娓浇膸r石的平均密度約為2.7克/厘米3，可見(jiàn)地面下更深的地方的物質(zhì)的平均密度一定比接近地面的物質(zhì)的平均密度大得多。

例2.地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的線速度大約等于30公里/秒，地球運(yùn)行軌道的半徑是15×10?公里。求太陽(yáng)的質(zhì)量。

【解】我們知道，地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的向心力，就是太陽(yáng)對(duì)地球的引力，因此，設(shè)地球的質(zhì)量為m，太陽(yáng)的質(zhì)量為M，地球運(yùn)行的軌道的半徑為 R，地球的線速度為v，則根據(jù)向心力公式和萬(wàn)有引力定律公式，得

????????即。

????????以v＝30公里/秒＝3×10?厘米/秒，R＝15×10?公里＝15×1012厘米，代入，得。

【09】從例1和例2所得的結(jié)果可知，地球的質(zhì)量大約只有太陽(yáng)質(zhì)量的三十萬(wàn)分之一，由此可見(jiàn)太陽(yáng)的質(zhì)量是多么地巨大！

習(xí)題13-2

1、地球距離太陽(yáng)約為1.5×10?公里，繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期是365天，求太陽(yáng)的質(zhì)量。[提示：用]【約2×1033克】

2、假定質(zhì)量同是20噸的兩個(gè)均勻球體的中心距離等于5米，求它們相互作用的力。【約107達(dá)因】

3、取地球的質(zhì)量為6×102?克，月球的質(zhì)量為7.3×102?克，兩球中心的距離為3.84×101o厘米，月球繞地球運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間是2.36×10?秒。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)證明，地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑驀@地球運(yùn)動(dòng)所需的向心力。[提示：用萬(wàn)有引力定律公式求出地球?qū)υ虑虻囊?，再用向心力公式求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)所需的向心力，比較兩個(gè)結(jié)果]

4、火星的半徑約為地球半徑的一半，火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/9，如果在地球上重50公斤的人飛到火是上去，他的重量將是多少？質(zhì)量是多少？【約22.2公斤，不變】