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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于動態(tài)模型平均的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

本文提供了一個經(jīng)濟(jì)案例。著重于原油市場的例子。簡要地提供了在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用模型平均和貝葉斯方法的論據(jù)，使用了動態(tài)模型平均法（DMA），并與ARIMA、TVP等方法進(jìn)行比較

簡介

希望對經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的從業(yè)人員和研究人員有用。

動機(jī)

事實(shí)上，DMA將計量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模的幾個特點(diǎn)結(jié)合在一起。首先，最終預(yù)測是通過模型平均化從幾個回歸模型中產(chǎn)生的。其次，該方法是貝葉斯方法，也就是說，概率是以相信程度的方式解釋的。例如，對時間t的DMA預(yù)測只基于截至?xí)r間t-1的數(shù)據(jù)。此外，新數(shù)據(jù)的獲得直接導(dǎo)致參數(shù)的更新。因此，在DMA中，回歸系數(shù)和賦予模型的權(quán)重都隨時間變化。

貝葉斯方法不是現(xiàn)代計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主流。然而，這些方法最近正獲得越來越多的關(guān)注。這其中有各種原因。首先，我們可以將其與研究中日益增多的數(shù)據(jù)量聯(lián)系起來。由于技術(shù)進(jìn)步，人們通常面臨著許多潛在的解釋變量的情況。盡管大多數(shù)變量可能并不重要，但研究者通常不知道哪些變量應(yīng)該被剔除。

當(dāng)然，到某種程度上仍然可以使用常規(guī)方法。但由于缺乏足夠的信息，通常無法對參數(shù)進(jìn)行精確估計。最簡單的例子是當(dāng)解釋變量的數(shù)量大于時間序列中的觀察值的數(shù)量時。例如，即使在線性回歸的情況下，標(biāo)準(zhǔn)的普通最小二乘法估計也會出現(xiàn)一個奇異矩陣，導(dǎo)致不可能取其倒數(shù)。在貝葉斯框架下，仍然可以得出一個有意義的公式。貝葉斯方法似乎也能更好地處理過度參數(shù)化和過度擬合問題。

在最近的預(yù)測趨勢中可以發(fā)現(xiàn)各種方法。以原油價格為例，預(yù)測方法通?？梢苑譃闀r間序列模型、結(jié)構(gòu)模型和其他一些方法，如機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。一般來說，時間序列模型的重點(diǎn)是對波動的建模，而不是對現(xiàn)貨價格的建模。結(jié)構(gòu)模型顧名思義包括因果關(guān)系，但它們通常在某些時期有很好的預(yù)測能力，而在其他時期則很差。另外，基于小波分解、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等的其他方法通常忽略了其他因素的影響，只關(guān)注單一時間序列。這些使得DMA成為從業(yè)者的一個有趣的方法。

DMA的下一個方面是，它允許回歸系數(shù)是隨時間變化的。事實(shí)上，在經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)緩慢和快速（結(jié)構(gòu)性中斷）變化的情況下，計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的這種屬性是非?？扇〉摹．?dāng)然，這樣的方法也存在于傳統(tǒng)的方法論中，例如，遞歸或滾動窗口回歸。

理論框架

我們將簡短地描述fDMA的理論框架。特別是，動態(tài)模型平均化（DMA）、動態(tài)模型選擇（DMS）、中位概率模型。

動態(tài)模型平均（DMA）

DMA在[1]的原始論文中得到了非常詳細(xì)的介紹。然而，下面是一個簡短的論述，對于理解fDMA中每個函數(shù)的作用是必要的。

假設(shè)yt是預(yù)測的時間序列（因變量），讓x（k）t是第k個回歸模型中獨(dú)立變量的列向量。例如，有10個潛在的原油價格驅(qū)動因素。如果它們中的每一個都由一個合適的時間序列來表示，那么就可以構(gòu)建2^10個可能的線性回歸模型。每個變量都可以包括或不包括在一個模型中。因此，每個變量有兩種選擇，構(gòu)成了2^10種可能性。這包括一個只有常數(shù)的模型。因此，一般來說，有潛在的有用的m個獨(dú)立變量，最多可以構(gòu)建K=2^m個模型。換句話說，狀態(tài)空間模型是由以下幾個部分組成的

其中k = 1, ... . ，K，θt是回歸系數(shù)的列向量。假設(shè)誤差遵循正態(tài)分布，即e（k）t～N（0，V（k）t）和δ（k）t～N（0，W（k）t）。

在此請注意，有m個潛在的解釋變量，2m是構(gòu)建模型的上限。然而，本文描述的所有方法（如果沒有特別說明的話）都適用于這些2m模型的任何子集，即K≤2m。

動態(tài)模型選擇(DMS)

動態(tài)模型選擇（DMS）是基于相同的理念，與DMA的理念相同。唯一的區(qū)別是，在DMA中進(jìn)行的是模型平均化，而在DMS中是模型選擇。換句話說，對于每個時期t，選擇具有最高后驗(yàn)概率的模型。這意味著，只需將公式修改為

其中HT表示k模型。

一個例子：原油市場

我們舉一個原油市場的例子。據(jù)此可以說，在哪些時間序列可以作為預(yù)測現(xiàn)貨原油價格的有用解釋變量方面，存在著不確定性。

xts對象crudeoil包含來自原油市場的選定數(shù)據(jù)，即。

-WTI代表WTI（西德克薩斯中質(zhì)油）現(xiàn)貨價格，以每桶計。

• MSCI代表MSCI世界指數(shù)。

• TB3MS代表3個月國庫券二級市場利率（%）。

• CSP代表粗鋼產(chǎn)量，單位是千噸（可以作為衡量全球經(jīng)濟(jì)活動的一種方式）。

• TWEXM代表貿(mào)易加權(quán)的指數(shù)（1973年3月=100）。

• PROD代表原油產(chǎn)品供應(yīng)量，單位為千桶。

• CONS代表經(jīng)合組織的原油產(chǎn)品總消費(fèi)量。

• VXO代表標(biāo)準(zhǔn)普爾100指數(shù)的隱含波動率（即股票市場波動率）。

這些數(shù)據(jù)的頻率為每月一次。它們涵蓋了1990年1月至2016年12月的時期。

xts對象的趨勢包含來自谷歌的關(guān)于選定搜索詞的互聯(lián)網(wǎng)數(shù)量的數(shù)據(jù)。

• stock_markets代表Google Trends的 "股票市場"。

• interest_rate代表Google Trends的 "利率"。

• economic_activity表示 "經(jīng)濟(jì)活動 "的Google趨勢。

• exchange_rate代表 "匯率 "的谷歌趨勢。

• oil_production表示 "石油生產(chǎn) "的Google趨勢。

• oil_consumption代表 "石油消費(fèi) "的谷歌趨勢。

• market_stress代表Google Trends的 "市場壓力"。

這些數(shù)據(jù)也是以月度為頻率的。它們涵蓋了2004年1月至2016年12月這段時間，因?yàn)楣雀柃厔輿]有涵蓋更早的時期。從經(jīng)濟(jì)角度來看，考慮這些時間序列的對數(shù)差分是合理的

R>?drivers?<-?(lag(crudeoil[?,?-1],?k?=?1))[-1,?] R>?l.wti?<-?(diff(log(wti)))[-1,?] R>?l.drivers?<-?(diff(log(driv?)))[-1,?]

R>?archtest(ld.wti)

R>?descstat((ld))

除了PROD的一些問題，所有的時間序列都可以在5%的顯著性水平上被認(rèn)為是平穩(wěn)的。對于WTI差分也存在ARCH效應(yīng)。因此，在DMA中考慮指數(shù)加權(quán)移動平均（EWMA）估計方差似乎是合理的。此外，還可以測試一些遺忘因子。根據(jù)建議，對月度時間序列采取κ=0.97。所有的方差都小于1。因此，似乎沒有必要對時間序列進(jìn)行重新標(biāo)準(zhǔn)化。在DMA的估計中，采取initvar=1似乎也足夠了。

?DMA(y?=?lwti,?x?=?ldrivers, +??alpha?=?ra,?lambda?=?rl, ????meth?=?"ewma"?)

根據(jù)最小化RMSE，最佳DMA模型是α=0.99和λ=0.97的模型。因此，對這個模型稍作研究。

?plot(x$y,?type="l",?ylim=c(min(x$y,x$y.hat),max(x$y,x$y.hat)),???xlab="",?ylab="",?main="實(shí)際值和預(yù)測值",?axes?=?F)

比較圖1和圖2可以看出，在市場的動蕩時期，DMA迅速適應(yīng)，對有更多變量的模型賦予更高的權(quán)重。事實(shí)上，這與圖3一致。在這一時期，所有解釋變量的相對變量重要性都在上升。我們還可以看到，自2007年以來，發(fā)達(dá)的股票市場的作用有所增加。然而，在2013年之后，這種作用變得越來越??；而其他變量的作用開始增加。這一點(diǎn)非常明顯，特別是對于匯率。

圖3應(yīng)與圖4可以看出。雖然，相對變量的重要性可能很高，但這個變量的回歸系數(shù)的預(yù)期值可能在0左右。事實(shí)上，高的相對變量重要性同時觀察到MSCI、CSP和TWEXM的預(yù)期回歸系數(shù)不為零。所以，這個分析現(xiàn)在證實(shí)了這三個因素在2007年和2013年之間對原油價格起到了重要的預(yù)測作用。自2013年以來，股票市場的作用減少了，被匯率所取代。在2013年前后，最重要的作用是由發(fā)達(dá)股票市場發(fā)揮的。?

圖1

?for?(i?in?1:7) ????{ ??????inc[i+1]?<-?floor(i?*?nrow(?post.incl)/7) ????} ????plot(?exp.var,?type="l"?ylim=c(0,ncol(x$models))???main="變量數(shù)量期望值?",?axes?=?F)

圖2

for?(i?in?1:(ncol(?post.incl)-1)) plot(?post.incl[,i+1],?type="l",?col=col[i+1],?ylim=c(0,1),?xlab="",?ylab="",?main="后包含概率",?axes?=?F)

圖3

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R語言：EM算法和高斯混合模型的實(shí)現(xiàn)

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01

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04

??for?(i?in?1:(ncol(?exp.coef.))) ????{ ??????plot(?exp.coef.[,i],?type="l",?col=col[i]?) ????} ????plot(index(?exp.coef.[,i]),?rep(0,length(x$exp.coef.[,i])?? ???????????xaxt='n',?xlab="",?ylab="",?main="系數(shù)"

圖4

最后，可以懷疑有一些模型在某種意義上優(yōu)于其他模型。換句話說，模型的選擇會比模型的平均數(shù)更有優(yōu)勢。這可以通過分析DMS和中位概率模型來檢查。然而，從圖5可以看出，沒有一個模型的后驗(yàn)概率超過0.5。其次，2007年之后和2013年之后，沒有一個模型似乎更有優(yōu)勢。

也可以質(zhì)疑所應(yīng)用的方法對不同的參數(shù)設(shè)置是否穩(wěn)健。例如，如果其他遺忘因子α和λ會導(dǎo)致不同的結(jié)論。圖6展示了來自對象g的所有模型的所有解釋變量的相對變量重要性，即α={1, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95}和λ={1, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95}的所有組合。確切的數(shù)值不同，但圖形在時間上遵循的路徑或多或少是相同的。這意味著給定解釋變量的作用遞增，對遺忘因素設(shè)置不同的值是穩(wěn)健的。

for?(i?in?1:(ncol(x$post.mod)-1)) ????{ ??????plot(x$post.mod[,i],?type="l"? ????} ????plot(x$post.mod[,i+1],?type="l"?ylab="",?main="后驗(yàn)?zāi)Ｐ透怕?#34;,?axes?=?F)

圖5

圖6

最后，可以將選定的模型與一些替代預(yù)測進(jìn)行比較。

R>?altm

所選的DMA模型的RMSE比兩個基準(zhǔn)預(yù)測要小，但與Auto ARIMA相當(dāng)。MAE的情況也類似。然而，Auto ARIMA的MAE比選定的DMA模型小。另一方面，選定的DMA模型在所有競爭性預(yù)測中具有最高的命中率。更精確的比較可以通過Diebold-Mariano檢驗(yàn)來進(jìn)行。

DieMtest(y?=?(lwti))

假設(shè)5%的顯著性水平，可以拒絕簡單預(yù)測的原假設(shè)，也就是預(yù)測的準(zhǔn)確性低于所選的DMA模型。換句話說，所選模型在某種意義上超過了簡單預(yù)測。

參考文獻(xiàn)

1. Raftery, A.; Kárny, M.; Ettler, P. Online Prediction under Model Uncertainty via Dynamic Model Averaging: Application to a Cold Rolling Mill. Technometrics 2010, 52, 52–66. [CrossRef] [PubMed]

2. Barbieri, M.; Berger, J. Optimal Predictive Model Selection. Ann. Stat. 2004, 32, 870–897. [CrossRef]

本文摘選?《?R語言經(jīng)濟(jì)學(xué)：動態(tài)模型平均(DMA)、動態(tài)模型選擇(DMS)預(yù)測原油時間序列價格?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整代碼、數(shù)據(jù)資料。

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